空間幾何體的表面積和體積講解及經(jīng)典例題(已修改)
2025-04-06 06:42 本頁面
【正文】 空間幾何體的表面積和體積一．課標要求：了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。二．命題走向近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關系問題。即使考查空間線面的位置關系問題，、會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。由于本講公式多反映在考題上，預測2009年高考有以下特色：（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關的計算問題；三．要點精講1．多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長lS側(cè)+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底h正棱錐ch′棱臺棱臺各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺 (c+c′)h′表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長。2．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側(cè)2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h(即πr2l)πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，rr2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑。四．典例解析題型1：柱體的體積和表面積例1．一個長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長.解：設長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關系。例2．如圖1所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。（1）求證：頂點A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；（2）求這個平行六面體的體積。圖1 圖2解析：（1）如圖2，連結A1O，則A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結A1M，A1N。由三垂線定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD?！摺螦1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，從而OM=ON?！帱cO在∠BAD的平分線上。（2）∵AM=AA1cos=3=∴AO==。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－=，∴A1O=，平行六面體的體積為。題型2：柱體的表面積、體積綜合問題例3．一個長方體共一頂
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