第九講空間幾何體的表面積和體積(參考版)
2025-07-03 23:35本頁(yè)面
【正文】 5. 兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離兩點(diǎn)的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A,B所對(duì)應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）歡迎下載。③球的截面用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.(1)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓；(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：r=.4．經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。 ⑧外切球半徑 R=；⑨內(nèi)切球半徑 r=3．圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.①如圖，圓錐的頂角為β，母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sinα=cos = ，α+=90176。則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；②直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③體積 V=abc；④底面△ABC=；⑤S2△ABC=S△BHC2．直角四面體的性質(zhì) 體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90176。解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，∴，∴，∴，∴，∴中，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于．點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問(wèn)題例19．（1）我國(guó)首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。（2）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。解析：（1）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的表面積是，選D。將P—ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱(chēng)性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=a,下略。又PO′===a，∴OO′=R － a=d=,(R－a)2=R2 – (a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2。由正弦定理，得 =2r,∴r=a。解析：如圖，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。點(diǎn)評(píng)： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。題型8：球的體積、表面積例15．已知過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。R＝，∴cosθ＝，答案為D。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。＝，∴a2＝4，a＝2，a=2r，∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A?！?，答案D。圖題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問(wèn)題例13．（1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=，∠ABC=120176。答案為。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2點(diǎn)評(píng)：本題考查圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖、側(cè)面積和全面積等知識(shí)。題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問(wèn)題例11．（2000全國(guó)理，9）一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）A．
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