空間幾何體的表面積和體積講解及經(jīng)典例題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運(yùn)算。例8．（2007江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）A．S1S2 B．S1S2C．S1=S2 D．S1，S2的大小關(guān)系不能確定解：連OA、OB、OC、OD，則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C點評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。題型5：棱臺的體積、面積及其綜合問題例9．（2008四川理，19）．（本小題滿分12分）如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90176。，BC∥AD，BE∥AF，G、H分別是FA、FD的中點。(Ⅰ)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(Ⅱ)C、D、E、F四點是否共面？為什么？(Ⅲ)設(shè)AB=BE，證明：平面ADE⊥平面CDE.GHFEDCBA)解法一： (Ⅰ)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA,FH=HD. 所以GH ， 又BC ,故GH BC. 所以四邊形BCHG是平行四邊形. (Ⅱ)C、D、F、： 由BE ,G是FA的中點知，BE GF，所以EF∥BG. 由(Ⅰ)知BG∥GH，. 所以C、D、F、E四點共面. (Ⅲ)連結(jié)EG，由AB=BE，BE AG及∠BAG=90176。知ABEG是正方形. 故BG⊥，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BG⊥ED. 又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE. 由(Ⅰ)知，CH∥BG，所以CH⊥(Ⅱ)，得平面ADE⊥平面CDE. 解法二： 由題設(shè)知，F(xiàn)A、AB、AD兩兩互相垂直. 如圖，以A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. (Ⅰ)設(shè)AB=a,BC=b,BE=c，則由題設(shè)得 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c). 所以， 于是又點G不在直線BC上.所以四邊形BCHG是平行四邊形.(Ⅱ)C、D、F、：由題設(shè)知，F(xiàn)(0,0,2c)，所以(Ⅲ)由AB=BE，得c=a，所以又即 CH⊥AE,CH⊥AD,又 AD∩AE =A,所以CH⊥平面ADE,故由CH平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.點評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實際意
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