概率論與數(shù)理統(tǒng)計第6講(參考版)
2025-01-23 07:41本頁面
【正文】 ,2,1,0( ?? ??n思考： ),2,1,0(}{ ??? nnA n 個卵每只蠶產(chǎn)了設(shè)}{)1( 卵變成蟲設(shè) ?AE：觀察一個卵是否變成蟲 En ：觀察 n個卵是否變成蟲 En 可看成將 E 重復(fù)了 n次 , 這是一個 貝努里試驗 . 依題設(shè)， P(A)= p 設(shè) B={該蠶產(chǎn)了 k只小蠶 }，則由二項概率公式 小蠶 =蟲 得 knkknn ppCABP ??? )1()(),1,( ??? kkn?mn AA? ? )( mn ?????? 0nnA()( PABP n ? ?)= 0 (n=0, 1, 2,1)(l i m)( ??? ?? xFF xxo.),(X,x]x,(X,}xX{Px,內(nèi)必然落在時當(dāng)而的值也不會減小增大時當(dāng)同樣?????????.1}{lim)(lim ??? ???? xXPxF xx所以 ).(),()(lim)4( 000???????? xxFxFxx即任一分布函數(shù)處處 右連續(xù) . ??????????????.,1,0,0,0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF?1x?2x?1p?2p?1 反過來 ,如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個 X 的分布函數(shù) . 也就是說，性質(zhì) (1)(4)是鑒別一個函數(shù)是否是某 要條件 . 例： 00( ) sin 01xF x x xx?????? ? ??? ??三、離散型隨機變量 X的分布函數(shù) 設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 ?,2,1}{ ??? kpxXP kk亦即 .)(}{}{)(2121?????????xxkxxkkkkkkpxFxXPxXPxFpxppxxpX即則其分布函數(shù)???? 某數(shù)學(xué)家口袋里放有兩盒火柴 ,吸煙時從任一盒中取一根火柴 ,經(jīng)過一段時間后 ,發(fā)現(xiàn)一盒火柴已經(jīng)用完 . 如果最初兩盒中各有 n根火柴 ,求這時另一盒中還有 r根火柴的概率 . 解 ：設(shè) A={發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒還剩 r根 }， A1={甲盒已空，乙盒還剩 r根 }， A2={乙盒已空，甲盒還剩 r根 }； ( ) ( 1 2 )P A P A A? 2 ( 1 )PA?2221 1 1 12 ( ) ( ) ( ) .2 2 2 2n n n r n n rn r n rCC??????思考： 設(shè) A={一盒已空，另一盒還剩 r根 }， A1={甲盒已空，乙盒還剩 r根 }， A2={乙盒已空，甲盒還剩 r根 }； ( ) ( 1 2 )P A P A A?若改為 “ 他用完一盒時另一盒中還有 r根火柴 的概率 .” 2 ( 1 )PA?1 1 1 2 12 1 2 11 1 1 12 ( ) ( ) ( ) .2 2 2 2n n n r n n rn r n rCC? ? ? ? ? ?? ? ? ???,! ?? ?? enPnnn個卵的概率為若每蠶產(chǎn).),0。(),()()2( 2121 xxxFxF ??證明 ).()( 21 xFxF ?故0,?二 .分布函數(shù)的性質(zhì) (單調(diào)不減性 ) F(x2)F(x1)=P{ x1X ? x2 } },{)( xXPxF ??0}{lim)(lim ??? ?????? xXPxF xxxo證明 ,越來越小時當(dāng) x,}{ 的值也越來越小xXP ? 有時因而當(dāng) ,???x,0)(lim)()3( ???? ??? xFF x。 第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù) ?分布函數(shù)的定義 ?分布函數(shù)的性質(zhì) ?離散型隨機變量的分布函數(shù) ?用分布函數(shù)計算事件的概率 ?例題詳解 ?小結(jié) 一、分布函數(shù)的定義 1） 定義 設(shè) X 是一個隨機變量， x 是任意實數(shù)， 函數(shù) }{)( xXPxF ??稱為 X 的分布函數(shù)．記作 X ～ F(x) 或 FX(x). 0 x x X 由分布函數(shù)的定義 ,對任意實數(shù) x1x2， 隨機點落在任意區(qū)間 ( x1 , x2 ] 內(nèi)的概率為 : P{x1X ? x2}= P{X? x2 } P{X? x1} =F(x2)F(x1) 11{ } lim { } lim ( ) ( 0 )nnP X a P X a F a F ann? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 由分布函數(shù)的定義，對任意實數(shù) x，隨機變量落在任意點 x 內(nèi)的概率為： P{X = x }
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