概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第5講(參考版)
2024-10-19 12:16本頁面
【正文】 1,2,1,11)1(}|{,3,211222222??????????????mmnpqpqqpmXnYPmnmnqpnqpnYmXPnmnmnnn時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)44 二 . (X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量 如 (X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量 , 概率密度為 f(x,y), 其關(guān)于 Y的邊緣概率密度為 fY(y), 給定 y, 對(duì)于一固定的非常小的正數(shù) e0, 如 P{yY?y+e}0, )(d)(),()(d),(d)(dd),(}{},{}|{???? ???????????????????????????xYYxyyYx yyuyfyufyfuyufvvfuvvufyYyPyYyxXPyYyxXPeeeeeee45 定義 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為f(x,y), (X,Y)關(guān)于 Y的邊緣概率密度為 fY(y). )(.)(),()|(,)(),(,0)(,|yfyxfyxfXyYyfyxfyfyYYXYY???記為條件概率密度的條件下為在則稱若對(duì)于固定的46 |||( , )( | ) d d(),{ | } ( | ) ,( , )( | ) { | } d . ( )()xxXYYXYxXYYf x yf x y x xfyY y XP X x Y y F x yf x yF x y P X x Y y xfy ? ??????? ? ? ????稱 :為 在 條 件 下 的 條 件 分 布 函 數(shù)記 為 : 或 即 :47 ? ?||||0,( , )( | )()( , )( | ) d(){ | } ( | ) d ( | ) .YXXyYXXxX Y X Yx X xf x yf y xfxf x yF y x yfxP X x y Y y f x y x F x ye??????? ? ? ? ? ???X類 似 地 可 以 定 義 : 對(duì) 于 固 定 的 x,f 在 條 件 下Y 的 條 件 概 率 密 度 為 :條 件 分 布 函 數(shù) 為 :且 有48 例 3 設(shè) G是平面上的有界區(qū)域 , 其面積為 A. 若二維隨機(jī)變量 (X,Y)具有概率密度 ???????,0,),(,1),(其它GyxAyxf則稱 (X,Y)在 G上服從 均勻分布 . 現(xiàn)設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)在圓域 x2+y2?1上服從均勻分布 , 求條件概率密度 fX|Y(x|y). 49 解 由假設(shè)知隨機(jī)變量 (X,Y)具有概率密度 ????????,0,1,π1),(22其它yxyxf? ?? ?,()XYYf x yf x yfy?因?yàn)? 50 而 y的邊緣概率密度為 : y 0 x 22121( ) ( , ) d12d 1 , 1 1 ,π π0 , .Yyyf y f x y xx y y????? ? ??? ?????其 它22 1xy??21 y21 y51 于是當(dāng) 1y1時(shí)有 ? ?? ?2222|1/ π 1, 1 1 ,2211,( | )0,XYYy x yyyf x yf x yfy???? ? ? ? ??? ????????? ????????其 它52 例 4 設(shè)數(shù) X在區(qū)間 (0,1)上隨機(jī)地取值 , 當(dāng)觀察到 X=x(0x1)時(shí) , 數(shù) Y在區(qū)間 (x,1)上隨機(jī)地取值 . 求 Y的概率密度 fY(y). 解 按題意 X具有概率密度 ??? ???.,0,10,1)(
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