概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第11講(參考版)
2024-10-19 12:15本頁(yè)面
【正文】 wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 56 作業(yè) 第七章習(xí)題 第 183頁(yè) 第 1,2(4),5題 第 6,9,11題 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 54 例 3(續(xù)例 2) 試證當(dāng) n1時(shí) , q的無(wú)偏估計(jì)量 .X n Zq較 的無(wú)偏估計(jì)量 有效2222( ) ., ( ) , ( ) ,1 ( ) ( ) , .DXnD Z D nZnn D nZ D X X nZqqq?????再者由于 故有 當(dāng)時(shí) 故 較 有效證 由于 D(X)=q 2, 故有 169。 )0 , .( ) ,( ) ..nxnxfxEZnE nZnZqq qqqq????? ?????其它故知即 是參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)量估計(jì)量 . 而 Z=min(X1,X2,...,Xn)具有概率密度 169。(/其它xxfx qqq其中參數(shù) q0為未知 , 又設(shè) X1,X2,...,Xn是來(lái)自 X 12, [ m in ( , , , ) ].nX n Z n X X Xq?的樣本 試證 和都是 的無(wú)偏估計(jì)量169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 50 例 1 設(shè)總體 X 的 k 階矩 ?k= E ( Xk)( k ? 0) 存在 , 又設(shè)X1, X2,…, Xn是 X 的一個(gè)樣本 , 試證明不論總體服從什么分布 , k 階樣本矩???nikikXnA11是 k 階總體矩 ?k的無(wú)偏估計(jì)量 . 證 X1, X2,…, Xn與 X 同分布 , 故有 .,2,1,)()( niXEXEkkki???? ? 即有 .)(1)(1????nikkkXEnAE ? (3. 2) 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 48 1 無(wú)偏性 設(shè) X1, X2, … , Xn是總體 X 的一個(gè)樣本 . q ? Q 是包含在總體 X 的分布中的待估參數(shù) , 這里 Q 是 q 的取值范圍 . 無(wú)偏性 若估計(jì)量),(??21 nXXX ?qq ?的數(shù)學(xué)期望)?( qE存在 , 且對(duì)于任意 q ? Q 有 ,)?( qq ?E (3. 1) 則稱q?是 q 的 無(wú)偏估計(jì)量 . 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 47 167。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 45 例 設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布 , 其概率密度為 q0未知 . 隨機(jī)地取 50只電池投入壽命試驗(yàn) , 規(guī)定試驗(yàn)進(jìn)行到其中有 15只失效時(shí)結(jié)束試驗(yàn) , 測(cè)得失效時(shí)間 (小時(shí) )為 115,119,131,138,142,147,148,155,158,159,163,166,167,170,172 試求電池的平均壽命估計(jì) . ???????? ?,0,0,0,e1)(/tttf t qq169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 43 于是得到 q的最大似然估計(jì)為 .)(?mts m?q其中 s(tm)=t1+t2+...+tm+(n?m)tm稱為總試驗(yàn)時(shí)間 , 它表示直至?xí)r刻 tm為止 n個(gè)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間總和 .0])([1)(lndd].)([1ln)(ln21221?????????????????mmmmtmntttmLtmntttmL??qqqqqqq令169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 41 用最大似然估計(jì)法估計(jì) q, 求上述觀察結(jié)果的概率 . 一個(gè)產(chǎn)品在 [ti,ti+dti]失效的概率近似為 ? ?///1( ) d e d , 1 , 2 , , ,1e d ,immti i imnmtttf t t t i m n mtteqqqqq?? ???? ? ?????????其余個(gè)產(chǎn)品壽命超過(guò) 的概率為? ? mntmttt mm tttmn ????? ???????????????????????? qqqqqqq//2/1/ ede1de1de1 21 ?故上述觀察結(jié)果出現(xiàn)的概率近似地為 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 39 另一種是定數(shù)截尾壽命試驗(yàn) . 假設(shè)將隨機(jī)抽取的 n個(gè)樣本在時(shí)間 t=0時(shí)同時(shí)投入試驗(yàn) , 試驗(yàn)進(jìn)行到有 m個(gè) (m是事先規(guī)定的 , mn)產(chǎn)品失效時(shí)停止 . m個(gè)失效產(chǎn)品的失效時(shí)間分別為 0?t1?t2?...?tm, 這里 tm是第 m個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間 . 所得的樣本t1,t2,...,tm稱為定數(shù)截尾樣本 . 用截尾來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷是可靠性研究中常見(jiàn)的問(wèn)題 . 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 ,2021 37 在研究產(chǎn)品可靠性時(shí) , 需要研究產(chǎn)品壽命 T的各種特征 . 產(chǎn)品壽命 T是一個(gè)隨機(jī)變量 , 它的分布稱為壽命分布 . 為了對(duì)壽命分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷 , 就需要通過(guò)對(duì)產(chǎn)品的壽命試驗(yàn) , 以取得壽命數(shù)據(jù) . 一種典型的壽命試驗(yàn)是 , 將隨機(jī)抽取的 n個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間 t=0時(shí) , 同時(shí)投入試驗(yàn) , 直到每個(gè)產(chǎn)品都失效 . 記錄每個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間 , 這樣得到的樣本 (即由所有產(chǎn)品的失效時(shí)間 0 ?t1 ? t2 ? ...?tn所組成的樣本 )叫完全樣本 . 但產(chǎn)品的壽命往往較長(zhǎng) , 我們不可能得到完全樣本 , 于是就考慮截尾壽命試驗(yàn) . 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)
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