概率論與數(shù)理統(tǒng)計第15講(參考版)
2025-01-23 07:40本頁面
【正文】 ()(2。 例 : () 2 2 ( )d f x x E Xdx ?? 兩邊對 x求導數(shù)，得 22( ) ( )0 , 2 0 ,d f x d f xd x d x? ? ? ?， 又因2 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) .f E X E X E X D X? ? ?顯然 , 當 x=E(X)時 故當 x=E(X)時 f(x)取到最小值，最小值為 y 例 1 設隨機變量 X服從參數(shù)為 ?的泊松分布 ,且 則 ( 1 ) ( 2 ) ,P X P X? ? ? ( ) ___, ( ) ___ .E X D X??例 2 擲骰子 100次，則點數(shù)之和的數(shù)學期望 為 ______，方差為 _______. 例 3 已知隨機變量 X的概率密度是 則 X的數(shù)學期望 E(X)=_____,方差 D(X)=____. 21( ) , ,xf x e x??? ?? ? ? ?四、小結 1. 方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量 X 取值分散程度的量 . 如果 D(X)值大 ,表示 X 取值分散程度大 , E(X) 的代表性差 。 (c) 因為不等式對任意的 ? 均成立，取 ? ＝ 3?，得 221{ | ( ) | 3 } 0 . 1 1 199P X E X???? ? ? ? ?22{ | | }PX????? ? ?22{ | | } 1 .PX????? ? ? ? 可見 , 對任給的分布 , 只要期望 E(X)和方差? 2存在 , 則隨機變量取值偏離 E(X)超過 3? 的概率是很小的 ,小于 . 例 1：設隨機變量 X 的數(shù)學期望 E(X )=?、方差 D(X )=? 2 ?0， 記 ).(),(, ??? ?? XDXEXX 求? ?二 、例題講解 ( ) ( )XE X E ??? ??( ) ( )XD X D ??? ??1 ( ) 0EX ??? ? ?解： 21 ()DX ???? 21 ( ) 1DX???稱 X *為 X 的 標準化隨機變量 . y ).(.,0,10,1,01,1)(XDxxxxxfX求其它具有概率密度設隨機變量?????????????解 ( ) ( ) dE X x f x x????? ? ,0?例 2 22( ) ( ) dE X x f x x????? ?,61?于是 22 )]([)()( XEXEXD ??0110( 1 ) d ( 1 ) dx x x x x x?? ? ? ???012210( 1 ) d ( 1 ) dx x x x x x?? ? ? ???2061 ? .61?y : 三、幾種重要隨機變量的數(shù)學期望及方差 (1) 二項分布 ),2,1,0(,)1(}{ nkppknkXP knk ??????????? ?.10 ?? p 設隨機變量 X 服從參數(shù)為 n, p 二項分布 , 其分布律為 若 X~B(n,p)， 則 X表示 n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù) . 現(xiàn)在我們來求 X的數(shù)學期望和方差 . y 可見，服從參數(shù)為 n和 p的二項分布的隨機變量 X的數(shù)學期望是 np. X~B(n,p), 若設 則 X= X1+X2+…+ Xn = np ????次試驗失敗如第次試驗成功如第iiX i01i=1,2， … ， n 因為 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1p 1( ) ( )niiE X E X?? ?所以 則 X表示 n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù) . E(Xi)= )1(01 pp ????= p y X~B(n, p), 則 X表示 n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù) . 若設 ????次試驗失敗如第次試驗成功如第iiX i01i=1,2， … ， n 故 D(Xi)
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