概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第15講-文庫吧
2025-01-05 07:40 本頁面
【正文】 ? ? ?證明 2( ) { [ ( ) ( ) ] }D X Y E X Y E X Y? ? ? ? ?2{ [ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X Y E Y? ? ? ?22[ ( ) ] [ ( ) ]2 { [ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X E Y E YE X E X Y E Y? ? ? ? ???).()( YDXD ??( ) ( ) 2 { [ ( ) ] [ ( ) ] }D X D Y E X E X Y E Y? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) .D X Y D X D Y? ? ?證明 2( ) { [ ( ) ( ) ] }D X Y E X Y E X Y? ? ? ? ?).()( YDXD ??( ) ( ) 2 { [ ( ) ] [ ( ) ] }D X D Y E X E X Y E Y? ? ? ? ?結(jié)論 ： .相互獨(dú)立與相互獨(dú)立與 EYYEXXYX ???{ , } { , }{ } { } { } { } .P r o o f P X E X x Y E Y y P X x E X Y y E YP X x E X P Y y E Y P X E X x P Y E Y y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?：{ [ ( ) ] [ ( ) ] }[ ( ) ] [ ( ) ] 0 .E X E X Y E YE X E X E Y E Y? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ( ) .D X Y D X D Y? ? ?( 1 ) ( ) ?D X Y??( ) ( ) ( ) .D X Y D X D Y? ? ?(4) 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立 , D(X), D(Y) 存在 , 則 若 X,Y不獨(dú)立 , 則由上面的證明過程不難看出： (2 )()D X Y??( ) ( ) 2 { [ ( ) ] [ ( ) ] } .D X D Y E X E X Y E Y? ? ? ?1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) .nnD X X X D X D X D X? ? ? ? ? ? ?推廣 則有相互獨(dú)立若 , 21 nXXX ?(3 )..1}{,10)()5(EXCCXPCXXD????顯然，這里即取常數(shù)以概率的充要條件是(證明略 ) 切比雪夫 (Chebyshev)不等式 設(shè)隨機(jī)變量 X具有期望 E(X)=?,方差 D(X)=?2存在， 則對(duì)于任給 ? 0,有不等式 22{ | | }PX????? ? ? 成立。222(){ } .DXPX με ???? ? ? ?22( 1 ) ( ) ( ) dx μ f x x? ????? ?2( 1 ) ( ).DX??xxfε μxεμxd)(22? ?? ??得 }{ εμXP ?? ???? εμx xxf d)(證明 取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明 . 則有的概率密度為設(shè) ),( xfX22{ | | } 1 .PX????? ? ? ? ?切比雪夫不等式的另一種形式為 22{ | | }PX????? ? ?(a)由切比雪夫不等式可以看出，若 D(X)越小 ,則事件{|X ? | ? }的概率越大，即 隨機(jī)變量 X取值集中在期望附近的可能性越大 . 22{ | | }PX????? ? ?由此可體會(huì)方差的概率意義： 它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度 . 22{ | | } 1 .PX????? ? ? ?說明： (b) 可以利用切比雪夫不等式 , 在分布未知的情況下 ,而方差已知時(shí) , 估計(jì)出 X 落在區(qū)間 (E(X)? , E(X)+ ?) 內(nèi) 的概率（較粗糙） 。 (c) 因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的 ? 均成立，取 ? ＝ 3?，得 221{ | ( ) | 3 } 0 . 1 1 199P X E X???? ? ? ? ?22{ | | }PX????? ? ?22{ | | } 1 .PX????? ? ? ? 可見 , 對(duì)任給的分布 , 只要期望 E(X)和方差? 2存在 , 則隨機(jī)變量取值偏離 E(X)超過 3? 的概率是很小的 ,小于 . 例 1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E
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