概率論與數(shù)理統(tǒng)計第15講(已修改)
2025-02-01 07:40 本頁面
【正文】 一、隨機變量方差的概念及性質(zhì) 二、例題講解 三、重要概率分布的期望和方差 第二節(jié) 方 差 四、小結(jié) 由第一節(jié)知道，隨機變量的數(shù)學期望可以反映 隨機變量取值的平均程度，但僅用數(shù)學期望描 述一個隨機變量的取值情況是遠遠不夠的。 例如 ：以手表的日走時誤差為例 :對于甲乙兩種 牌號的手表，它們的日走時誤差分別為 X， Y， 并分別具有如下的分布列 : 1 0 1 2 1 0 1 2~ , ~0 . 1 0 . 8 0 . 1 0 . 1 0 . 2 0 . 4 0 . 2 0 . 1XY? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?容易算得 ,甲乙兩種牌號的手表的數(shù)學期望都是 0秒，現(xiàn)問 ,甲乙兩種牌號的手表 哪一種更準確？ 但仔細分析會發(fā)現(xiàn)甲牌號的手表優(yōu)于乙牌號的 . 從數(shù)學期望是分不出優(yōu)劣的 。 甲 :80%的手表誤差為 0,只有 20%分散在 0的兩側(cè) 。 乙 :40%的手表誤差為 0,大部分 60%分散在 0的兩側(cè) 。 所以，考慮是否可用一個數(shù)字指標來衡量一個隨機變量離開它的期望值的偏離程度？ 這是本節(jié)所討論的問題。 任給隨機變量 X， EX是其數(shù)學期望， 顯然， |XEX|反映了偏離的大小， 由于絕對值有諸多不便，所以用 (XEX)2去衡量這個偏差， 從而 (XEX)2仍為隨機變量， 所以用 (XEX)2的平均值去衡量離開它的平均值EX的偏離程度， 引入定義： .)()(}.)]({[)()()(),()()(,}])({[,})]({[,22222為標準差或均方差稱即或或記為的方差為則稱存在若是一個隨機變量設XDXσXEXEXXV a rXDXXV a rXDXXEXEXEXEX?????????1. 方差的定義 一、隨機變量方差的概念及性質(zhì) 22( ) ( ) ( ) { [ ( ) ] } .D X V ar X X E X E X?? ? ? ?(1)由定義知 ,方差是 g(X)=[XE(X)]2 的 數(shù)學期望 . 說 明 (2)應當注意 : 對隨機變量 X而言 ,其數(shù)學期望 E(X)是一常數(shù) ,而 XE(X) 與 [XE (X)]2是隨機變量 . 方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量 X取值分散 程度的量 .如果 D(X)值大 , 表示 X 取值分散程度大 , E(X)的代表性差 。而如果 D(X) 值小 , 則表示 X 的取 值比較集中 ,以 E(X)作為隨機變量的代表性好 . 2. 方差的意義 22( ) ( ) ( ) { [ ( ) ] } .D X V ar X X E X E X?? ? ? ?離散型隨機變量 的方差 ,)]([)(12kkk pXExXD ?????連續(xù)型隨機變量 的方差 ,d)()]([)( 2 xxfXExXD ? ??? ??3. 隨機變量方差的計算 (1) 利用定義計算 .)( 的概率密度為其中 Xxf.,2,1,}{ 的分布律是其中 XkpxXP kk ????22( ) ( ) ( ) { [ ( ) ] } .D X V ar X X E X E X?? ? ? ?.)]([)()( 22 XEXEXD ??證明 })]({[)( 2XEXEXD ??})]([)(2{ 22 XEXXEXE ???22 )]([)()(2)( XEXEXEXE ???22 )]([)( XEXE ??(2) 利用公式計算 22( ) ( ) ( ) { [ ( ) ] } .D X V ar X X E X E X?? ? ? ?22( ) 2 ( ( ) ) [ ( ) ]E X E XE X E E X? ? ?4. 方差的性質(zhì) (1) 設 C 是常數(shù) , 則有 D(C)=0. (2) 設 X 是一個隨機變量 , C 是常數(shù) , 則有 ).()( 2 XDCCXD ?(3) 設 X 是一個隨機變量 , C 是常數(shù) , 則有 ).()( XDCXD ??( ) ( ) ( ) .D X Y D X D Y? ? ?(4) 設 X, Y 相互獨立 , D(X), D(Y) 存在 , 則 ( ) ( ) ( ) .D X Y D X D Y
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