概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第5講(已修改)
2024-10-28 12:16 本頁(yè)面
【正文】 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 5講 福建師范大學(xué)福清分校數(shù)計(jì)系 2 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 167。 1 二維隨機(jī)變量 3 在實(shí)際問(wèn)題中 , 對(duì)于某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述 . 例如 , 為了研究某一地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況 , 對(duì)這一地區(qū)的兒童進(jìn)行抽查 , 對(duì)于每個(gè)兒童都能觀察到他的身高 H和體重 W. 在這里 , 樣本空間 S={e}={某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童 , 而H(e), 和 W(e)是定義在 S上的兩個(gè)隨機(jī)變量 . 又如炮彈彈著點(diǎn)的位置需要由它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來(lái)確定 , 而橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是定義在同一個(gè)樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量 . 4 一般 , 設(shè) E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) , 它的樣本空間是S={e}, 設(shè) X=X(e)和 Y=Y(e)是定義在 S上的隨機(jī)變量 , 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 (X,Y), 叫做 二維隨機(jī)向量 或 二維隨機(jī)變量 . S e X(e) Y(e) 5 定義 設(shè) (X,Y)是二維隨機(jī)變量 , 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y, 二元函數(shù) : },{)}(){(),( yYxXPyYxXPyxF ??????? 記成稱為二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù) , 或稱為隨機(jī)變量 X和 Y的聯(lián)合分布函數(shù) . (x,y) x y O 6 易知 , 隨機(jī)點(diǎn) (X,Y)落在矩形域 [x1X?x2, y1Y?y2]的概率為 P{x1X?x2, y1Y?y2} =F(x2,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)F(x1,y2). () x y y1 y2 x1 x2 7 分布函數(shù) F(x,y)具有的基本性質(zhì) : 1, F(x,y)是變量 x和 y的不減函數(shù) , 即對(duì)于任意固定的 y, 當(dāng) x2x1時(shí) F(x2,y)?F(x1,y)。 對(duì)于任意固定的 x, 當(dāng) y2y1時(shí) F(x,y2)?F(x,y1). 2, 0?F(x,y)?1, 且 對(duì)于任意固定的 y, F(?,y)=0, 對(duì)于任意固定的 x, F(x,?)=0, F(?,?)=0, F(+?, +?)=1. 3, F(x,y)關(guān)于 x和關(guān)于 y都右連續(xù) . 4, 任給 (x1,y1),(x2,y2), x1x2, y1y2, F(x2,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)F(x1,y2)?0 8 一. (X,Y)是二維離散型的隨機(jī)變量 如果二維隨機(jī)變量 (X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì) , 則稱 (X,Y)是 離散型的隨機(jī)變量 . 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y)所有可能取的值為 (xi,yj), i,j=1,2,...,記 P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 則由概率的定義有 .1,01 1?? ? ?????i jijij pp9 稱 P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,...,為二維離散型隨機(jī)變量 X和 Y的 分布律 , 或隨機(jī)變量 X和 Y的 聯(lián)合分布律 . 也可用表格表示 X和 Y的聯(lián)合分布律 : Y X x1 x2 ... xi ... y1 p11 p21 ... pi1 ... y2 p12 p22 ... pi2 ... ? ... ... ... ... ... yj p1j p2j ... pij ... ... ... ... ... ... ... 10 例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X在 1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值 , 另一個(gè)隨機(jī)變量 Y在 1~X中等可能地取一整數(shù)值 . 試求 (X,Y)的分布律 . 解 由乘法公式容易求得 (X,Y)的分布律 , 易知{X=i,Y=j}的取值情況是 : i=1,2,3,4, j取不大于 i的正整數(shù) , 且 .,4,3,2,1,141}|{}{},{ijiiiXjYPiXPjYiXP??????????11 于是 (X,Y)的分布律為 .,4,3,2,1,141}|{}{},{ijiiiXjYPiXPjYiXP??????????Y X 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 12 將 (X,Y)看成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo) , 則離散型隨機(jī)變量 X和 Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 )(,),( ? ?? ??xx yyiji jpyxF其中和式是對(duì)一切滿足 xi?x,yj?y的 i,j來(lái)求和的 . 補(bǔ)充例題 : 求例 1中隨機(jī)變量 X和 Y的聯(lián)合分布函數(shù) . 解 :由例 1 所求的隨機(jī)變量 X和 Y的聯(lián)合分布律得隨機(jī)變量 X和 Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 : 13 ? ?0 1 112143328432811422416, 4 324184244 1 24 2 34 3 444xyxyxyxyxyF X Y x yxxyxyxyxy?????? ? ???? ? ? ????? ? ????? ? ? ????? ? ? ? ??
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