【正文】 ∴△ BCD 為直角三角形． （ 3） ①△ BCD 的三邊， = = ，又 = ，故當(dāng) P 是原點(diǎn) O 時(shí)， △ ACP∽△ DBC； ② 當(dāng) AC 是直角邊時(shí)，若 AC 與 CD 是對(duì)應(yīng)邊，設(shè) P 的坐標(biāo)是（ 0， a），則 PC=3﹣a， = ，即 = ，解得： a=﹣ 9，則 P 的坐標(biāo)是（ 0，﹣ 9），三角形 ACP不是直角三角形，則 △ ACP∽△ CBD 不成立； 第 40 頁(yè)（共 41 頁(yè)） ③ 當(dāng) AC 是直角邊，若 AC 與 BC 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，設(shè) P 的坐標(biāo)是（ 0， b），則 PC=3﹣b，則 = ，即 = ，解得： b=﹣ ，故 P 是（ 0，﹣ ）時(shí)，則 △ ACP∽△ CBD 一定成立； ④ 當(dāng) P 在 x 軸上時(shí)， AC 是直角邊， P 一定在 B 的左側(cè)，設(shè) P 的坐標(biāo)是（ d， 0）． 則 AP=1﹣ d，當(dāng) AC 與 CD 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)， = ，即 = ，解得： d=1﹣ 3 ，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似； ⑤ 當(dāng) P 在 x 軸上時(shí)， AC 是直角邊， P 一定在 B 的左側(cè)，設(shè) P 的坐標(biāo)是（ e， 0）． 則 AP=1﹣ e，當(dāng) AC 與 DC 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)， = ，即 = ，解得： e=﹣ 9，符合條件． 總之，符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為： ． 第 41 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 。 ∴∠ BCD=180176。 在 Rt△ ABD 中，根據(jù)勾股定理得： BD= =2 ， 第 38 頁(yè)（共 41 頁(yè)） ∵△ ABD∽△ ACB， ∴ = ，即 = ， ∴ BC=3 ． 25．如圖，拋物線與 x 軸交于 A（ 1， 0）、 B（﹣ 3， 0）兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D． （ 1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)． （ 2）試判斷 △ BCD 的形狀，并說明理由． （ 3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) P，使得以 P、 A、 C 為頂點(diǎn)的三角形與 △ BCD 相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； （ 2）利用勾股定理求得 △ BCD 的三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷； （ 3）分 p 在 x 軸和 y 軸兩種情況討論，舍出 P 的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解． 【解答】 解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c 由拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0， 3），可知 c=3．即拋物線的解析式為 y=ax2+bx+3． 把點(diǎn) A（ 1， 0）、點(diǎn) B（﹣ 3， 0）代入，得 解得 a=﹣ 1， b=﹣ 2 第 39 頁(yè)（共 41 頁(yè)） ∴ 拋物線的解析式為 y=﹣ x2﹣ 2x+3． ∵ y=﹣ x2﹣ 2x+3=﹣（ x+1） 2+4 ∴ 頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4）； （ 2） △ BCD 是直角三角形． 理由如下：解法一：過點(diǎn) D 分別作 x 軸、 y 軸的垂線，垂足分別為 E、 F． ∵ 在 Rt△ BOC 中， OB=3， OC=3， ∴ BC2=OB2+OC2=18 在 Rt△ CDF 中， DF=1， CF=OF﹣ OC=4﹣ 3=1， ∴ CD2=DF2+CF2=2 在 Rt△ BDE 中， DE=4， BE=OB﹣ OE=3﹣ 1=2， ∴ BD2=DE2+BE2=20 ∴ BC2+CD2=BD2 ∴△ BCD 為直角三角形． 解法二：過點(diǎn) D 作 DF⊥ y 軸于點(diǎn) F． 在 Rt△ BOC 中， ∵ OB=3， OC=3 ∴ OB=OC∴∠ OCB=45176。即 ∠ ODE=90176。即 ∠ OBD+∠ EBD=90176。等量代換可得出 ∠ ODE 為直角，即 DE 與 OD 垂直，可得出 DE 為圓 O 的切線，得證； （ 2）利用因式分解法求出 x2﹣ 10x+24=0 的解，再根據(jù) AB 大于 AD，且 AD 和 AB為方程的解，確定出 AB 及 AD 的長(zhǎng)，在直角三角形 ABD 中，利用勾股定理即可求出 BD 的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形相似即可求得 BC 的長(zhǎng)． 【解答】 （ 1）證明： DE 與半圓 O 相切，理由為： 連接 OD， BD，如圖所示： ∵ AB 為圓 O 的直徑， ∴∠ ADB=90176。 ∴ α=45176。= ， ∴ α+15176。 ∴△ APP′為等腰直角三角形， ∴ PP′= AP=3 ． 故答案為 3 ． 第 33 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 三、解答題（本大題共 8 個(gè)小題，共 66 分） 19．已知 a 是銳角，且 sin（ a+15176。則 △ APP′為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解． 【解答】 解： ∵△ ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ AB=AC， ∠ BAC=90176。= ． 故答案為： ． 18．如圖， △ ABC 是等腰直角三角形， BC 是斜邊，將 △ ABP 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 △ ACP′重合，如果 AP=3，那么 PP′= 3 ． 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】 利用等腰直角三角形的性質(zhì)得 ∠ AB=AC， ∠ BAC=90176。然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解． 【解答】 解：連接 OM， OM 的反向延長(zhǎng)線交 EF 于點(diǎn) C，如圖， ∵ 直線 MN 與 ⊙ O 相切于點(diǎn) M， ∴ OM⊥ MN， ∵ EF∥ MN， ∴ MC⊥ EF， ∴ CE=CF， ∴ ME=MF， 第 32 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 而 ME=EF， ∴ ME=EF=MF， ∴△ MEF 為等邊三角形， ∴∠ E=60176。 ∴∠ B=∠ ACD， ∵ cos∠ ACD= ， ∴ cos∠ B= ， ∴ tan∠ B= ， ∵ BC=4， ∴ tan∠ B= ， ∴ = ， ∴ AC= ． 故選： D． 11．如圖， P 為 ⊙ O 外一點(diǎn)， PA、 PB 分別切 ⊙ O 于 A、 B， CD 切 ⊙ O 于點(diǎn) E，分別交 PA、 PB 于點(diǎn) C、 D，若 PA=5，則 △ PCD 的周長(zhǎng)為（ ） 第 28 頁(yè)（共 41 頁(yè)） A． 5 B． 7 C． 8 D． 10 【考點(diǎn)】 切線長(zhǎng)定理． 【分析】 由切線長(zhǎng)定理可得 PA=PB， CA=CE， DE=DB，由于 △ PCD 的周長(zhǎng)=PC+CE+ED+PD，所以 △ PCD 的周 =PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周長(zhǎng)． 【解答】 解： ∵ PA、 PB 為圓的兩條相交切線， ∴ PA=PB， 同理可得： CA=CE， DE=DB． ∵△ PCD 的周長(zhǎng) =PC+CE+ED+PD， ∴△ PCD 的周長(zhǎng) =PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA， ∴△ PCD 的周長(zhǎng) =10， 故選 D． 12．如圖，兩個(gè)半徑都是 4cm 的圓外切于點(diǎn) C，一只螞蟻由點(diǎn) A 開始依次 A、 B、C、 D、 E、 F、 C、 G、 A 這 8 段路徑上不斷爬行，直到行走 2022πcm 后才停下來，則螞蟻停的那一個(gè)點(diǎn)為（ ） A． D 點(diǎn) B． E 點(diǎn) C． F 點(diǎn) D． G 點(diǎn) 【考點(diǎn)】 相切兩圓的性質(zhì)． 【分析】 螞蟻爬行這 8段的距離正好是圓周長(zhǎng)的 2倍，故根據(jù)圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式，先計(jì)算圓的周長(zhǎng) C，然后用 2022π 除以 2C，根據(jù)余數(shù)判定停止在哪一個(gè)點(diǎn)． 第 29 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 【解答】 解： C=π 8=8π， 2C=16π， 2022π=16π 125+6π， 所以停止在 D 點(diǎn)． 故選 A． 二、填空題（本大題共 6 個(gè)小題，每小題 3 分，共 18 分） 13．某農(nóng)戶 2022 年的年收入為 4 萬元，由于 “惠農(nóng)政策 ”的落實(shí)， 2022 年年收入增加到 萬元．設(shè)每年的年增長(zhǎng)率 x 相同，則可列出方程為 4（ 1+x） 2= ． 【考點(diǎn)】 由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 【分析】 增長(zhǎng)率問題，一般用增長(zhǎng)后的量 =增長(zhǎng)前的量 （ 1+增長(zhǎng)率），參照本題，如果設(shè)每年的年增長(zhǎng)率為 x，根據(jù) “由 2022 年的年收入 4 萬元增加到 2022 年年收入 萬元 ”，即可得出方程． 【解答】 解：設(shè)每年的年增長(zhǎng)率為 x，則 2022 年的年收入為 4（ 1+x）萬元， 2022年的年收入為 4（ 1+x） 2 萬元， 根據(jù)題意得： 4（ 1+x） 2=． 故答案為 4（ 1+x） 2=． 14．反比例函數(shù) y= （ k＞ 0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點(diǎn) M 是圖象上一點(diǎn) MP垂直 x 軸于點(diǎn) P，如果 △ MOP 的面積為 1，那么 k 的值是 2 ． 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義． 【分析】 過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積 S 是個(gè)定值，即 S= |k|． 【解答】 解：由題意得： S△ MOP= |k|=1， k=177。 ∴∠ ACD+∠ BCD=90176。 2． 【解答】 解：底面直徑為 4m，則底面周長(zhǎng) =4π，油氈面積 = 4π 3=6πm2，故選 B． 5．若反比例函數(shù) y=（ 2m﹣ 1） 的圖象在第二，四象限，則 m 的值是（ ） A．﹣ 1 或 1 B．小于 的任意實(shí)數(shù) C．﹣ 1 D．不能確定 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的定義． 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出方程求解，再根據(jù)它的性質(zhì)決定解的取舍． 【解答】 解： ∵ y=（ 2m﹣ 1） 是反比例函數(shù)， ∴ ， 解之得 m=177。 2 （負(fù)值舍去）， 綜上點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2+2 ， 8）或（ 2+2 ，﹣ 8）． 第 17 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 20222022 學(xué)年九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共 12 個(gè)小題，每小題 3 分，共 36 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． xy+2=1 B． C． x2=0 D． ax2+bx+c=0 2．如圖，在 ?ABCD 中， EF∥ AB， DE： EA=2： 3， EF=4，則 CD 的長(zhǎng)為（ ） A． B． 8 C． 10 D． 16 3．已知 ⊙ O 的半徑為 10cm，弦 AB∥ CD， AB=12cm， CD=16cm，則 AB 和 CD 的距離為（ ） A． 2cm B． 14cm C． 2cm 或 14cmD． 10cm 或 20cm 4．糧倉(cāng)頂部是圓錐形，這個(gè)圓錐的底面直徑為 4m，母線長(zhǎng)為 3m，為防雨需在倉(cāng)頂部鋪上油氈，這塊油氈面積是（ ）