蘇科版八級上勾股定理的逆定理同步練習(xí)含答案(參考版)
2025-01-13 03:23本頁面
【正文】 ． 【點評】 本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵． 22．張老師在一次 “探究性學(xué)習(xí) ”課中，設(shè)計了如下數(shù)表： n 2 3 4 5 … a 22﹣ 1 32﹣ 1 42﹣ 1 52﹣ 1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （ 1）請你分別觀察 a， b， c 與 n 之間的關(guān)系，并用含自然數(shù) n（ n＞ 1）的代數(shù)式表示： a= n2﹣ 1 ， b= 2n ， c= n2+1 ； （ 2）猜想：以 a， b， c 為邊的三角形 是否為直角三角形并證明你的猜想． 【分析】 （ 1）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，觀察 a， b， c 與 n 之間的關(guān)系，可直接寫出答案； （ 2）分別求出 a2+b2， c2，比較即可． 【解答】 解：（ 1）由題意有： n2﹣ 1， 2n， n2+1； （ 2）猜想為：以 a， b， c 為邊的三角形是直角三角形． 證明： ∵ a=n2﹣ 1， b=2n； c=n2+1 ∴ a2+b2=（ n2﹣ 1） 2+（ 2n） 2=n4﹣ 2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（ n2+1） 2 而 c2=（ n2+1） 2 ∴ 根據(jù)勾股定理的逆定理可知以 a， b， c 為邊的三角形是直角三角形． 【點評】 本題需仔細觀察表中的數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，利用勾股定理的逆定理即可解決問題． 。 ∴∠ BOD=50176。方向航行，另一艘艦艇在同時以 12 海里 /時的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個半小時后相距 30 海里，問另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？ 第 14 頁（共 14 頁） 【分析】 根據(jù)勾股定理的逆定理判斷 △ AOB 是直角三角形，求出 ∠ BOD 的度數(shù)即可． 【解答】 解：由題意得， OB=12 =18 海里 ， OA=16 =24 海里 ， 又 ∵ AB=30 海里 ， ∵ 182+242=302， 即 OB2+OA2=AB2 ∴∠ AOB=90176。． ②若 DE=3， BD=4，求 AE 的長． 第 11 頁（共 14 頁） 【分析】 （ 1）連接 CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得 BE=CE，再結(jié)合條件可求得EA2+AC2=CE2，可證得結(jié)論； （ 2）在 Rt△ BDE 中可求得 BE，則可求得 CE，在 Rt△ ABC 中，利用勾股 定理結(jié)合已知條件可得到關(guān)于 AE 的方程，可求得 AE． 【解答】 （ 1）證明： 連接 CE，如圖， ∵ D 是 BC 的中點， DE⊥ BC， ∴ CE=BE…（ 2 分） ∵ BE2﹣ EA2=AC2， ∴ CE2﹣ EA2=AC2， ∴ EA2+AC2=CE2， ∴△ ACE 是直角三角形，即 ∠ A=90176。=4 =2 ， ∴ 四邊形 ABCD 的面積為： AD?EB+ DB?CD= 4 + 4 8=4 +16． 【點評】 此題主要考查了勾股定理逆定理，以及等邊三角形的判定和性 質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有一個角是 60176。； （ 2）過 B 作 BE⊥ AD， ∵∠ A=60176。+90176。 DB=4， ∵ 42+82=（ 4） 2， ∴ DB2+CD2=BC2， ∴∠ BDC=90176。 DB=4，再利用勾股定理逆定理證明 △ BDC 是直角三角形，進而可得答案； （ 2）過 B 作 BE⊥ AD，利用三角形函數(shù)計算出 BE 長，再利用 △ ABD 的面積加上 △ BDC的面積可得四邊形 ABCD 的面積． 【解答】 解：（ 1）連接 BD， ∵ AB=AD， ∠ A=60176。 ∴ S 四邊形 ABCD=S△ ABC+S△ ACD = 3 4+ 5 12 =6+30 =36． 【點評】 熟練掌握勾股定理逆定理的運用，會求解三角形的面積問題． 第 10 頁（共 14 頁） 16．如圖，在四邊形 ABCD 中， AB=AD=4， ∠ A=60176。是解此題的關(guān)鍵． 第 8 頁（共 14 頁） 11．觀察下列勾股數(shù) 第一組： 3=2 1+1， 4=2 1 （ 1+1）， 5=2 1 （ 1+1） +1 第二組： 5=2 2+1， 12=2 2 （ 2+1）， 13=2 2 （ 2+1） +1 第三組： 7=2 3+1， 24=2 3 （ 3+1）， 25=2 3 （ 3+1） +1 第四組： 9=2 4+1， 40=2 4 （ 4+1）， 41=2 4 （ 4+1） +1 …觀察以上各組勾股數(shù)組成特點，第 7 組勾股數(shù)是 15， 112， 113 （只填數(shù)，不填等式） 【分析】 通過觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為 2n+1， 2n（ n+1）， 2n（ n+1） +1，由此可寫出第 7 組勾股數(shù)． 【解答】 解： ∵ 第 1 組： 3=2 1+1， 4=2 1 （ 1+1）， 5=2 1 （ 1+1） +1， 第 2 組： 5=2 2+1， 12=2 2 （ 2+1）， 13=2 2 （ 2+1） +1， 第 3 組： 7=2 3+1， 24=2 3 （ 3+1）， 25=2 3 （ 3+1） +1， 第 4 組： 9=2 4+1， 40=2 4 （ 4+1） 41=2 4 （ 4+1） +1， ∴ 第 7 組勾股數(shù)是 2 7+1=15， 2 7 （ 7+1） =112， 2 7 （ 7+1） +1=113，即 15， 112，113． 故答案為： 15， 112， 113． 【點評】 此題考查的知識點是勾股數(shù)，屬于規(guī)律性題目，關(guān)鍵是通過觀察找出規(guī)律求解． 12．如圖所示，在 △ ABC 中， AB： BC： CA=3： 4： 5，且周長為 36cm，點 P 從點 A 開始沿 AB 邊向 B 點以每秒 1cm 的速度移動；點 Q 從點 B 沿 BC 邊向點 C 以每秒 2cm 的速度移動，如果同時出發(fā)，則過 3 秒時， △ BPQ 的面積為 18 cm2． 【分析】 首先設(shè) AB 為 3xcm， BC 為 4xcm， AC 為 5xcm，利用方程求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出 3 秒后的， BP， BQ 的長，利用三角形的面積公式計算求解． 【解答】 解：設(shè) AB 為 3xcm， BC 為 4xcm， AC 為 5xcm， ∵ 周長為 36cm， AB+BC+AC=36cm， ∴ 3x+4x+5x=36， 解得 x=3， ∴ AB=9cm， BC=12cm， AC=15cm， ∵ AB2+BC2=AC2， ∴△ ABC 是直角三角形， 過 3 秒時， BP=9﹣ 3 1=6（ cm）， BQ=2 3=6（ cm）， ∴ S△ PBQ= BP?BQ=
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