【正文】 2． 4 函數(shù)的奇偶性 【知識網(wǎng)絡(luò)】 1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及其判斷方法； 2．奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象． 3．應(yīng)用奇函數(shù)、偶函數(shù)解決問題． 【典型例題】 例 1．（ 1） 下面四個結(jié)論中，正確命題的個數(shù)是（ A） ①偶函數(shù)的圖象一定與 y 軸相交；② 函數(shù) ()fx為奇函數(shù)的充要條件是 (0) 0f ? ；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱；④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定 是 f（ x） =0（ x∈ R） ． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 提示：①不對，如函數(shù)21()fxx?是偶函數(shù)，但其圖象與 y 軸沒有交點；②不對，因為奇函數(shù)的定義域可能不包含原點；③正確；④不對，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為 f（ x） =0〔 x∈（－ a ， a ）〕，答案為 A． （ 2）已知函數(shù) 2( ) 3f x ax bx a b? ? ? ?是偶函數(shù)，且其定義域為［ 1, 2aa? ］，則（ ） A． 31?a ， b＝ 0 B． 1a?? ， b＝ 0 C． 1a? ， b＝ 0 D． 3a? ， b＝ 0 提示 ：由 2( ) 3f x ax bx a b? ? ? ?為偶函數(shù)，得 b＝ 0． 又定義域為［ 1, 2aa? ］，∴ ( 1) 2 0aa? ? ? ，∴ 31?a ．故答案為 A． （ 3） 已知 ()fx是定義在 R 上的奇函數(shù)，當 0x? 時， 2( ) 2f x x x??，則 ()fx）在 R 上的 表達式是（ ） A． ( 2)y x x?? B． (| | 2)y x x?? C． | | ( 2)y x x?? D． (| | 2)y x x?? 提示 ：由 0x? 時， 2( ) 2f x x x??， ()fx是定義在 R 上的奇函數(shù) 得： 當 x＜ 0 時， 0x??， 2( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )f x f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ ( 2 ) ( 0 )()( 2 ) ( 0 )x x xfx x x x ??? ?? ?? ?? ， 即 ( ) (| | 2)f x x x??，答案為 D． （ 4）已知 53( ) 8f x x ax bx? ? ? ?，且 ( 2) 10f ?? ，那么 f（ 2）等于 26? 提示： 53( ) 8f x x ax bx? ? ? ?為奇函數(shù)， ( 2) 8 18f ? ? ? ，∴ (2) 8 18f ? ?? ，∴(2) 26f ?? ． （ 5）已知 ()fx是偶函數(shù)， ()gx 是奇函數(shù)，若 11)()( ??? xxgxf ，則 ()fx的解析式為 提示：由 ()fx 是 偶 函數(shù) ， ()gx 是奇函數(shù) ，可得 11)()( ???? xxgxf ， 聯(lián)立11)()( ??? xxgxf ， 得： 21 1 1 1( ) ( ) 12 1 1fx xxx??? ?? ? ?， ∴ 11)( 2 ?? xxf 例 2．判斷下列函數(shù)的奇偶性： （ 1） 1( ) ( 1)1 xf x x x??? ?； (2) 22( ) 1 1f x x x? ? ? ?； （ 3） 22lg(1 )() | 2 | 2xfx x ?? ??；（ 4） 22( 0 )() ( 0 )x x xfx x x x? ???? ?? ? ??? ． 解：（ 1）由 1 01 xx? ?? ，得定義域為 [ 1,1)? ，關(guān)于原點不對稱，∴ ()fx為非奇非偶函數(shù)． (2) 2 2210 1110x xxx? ??? ? ? ? ? ?? ????， ∴ ( ) 0fx? ∴ ()fx既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) ． （ 3）由 2210| 2 | 2 0xx? ????? ? ???得定義域為 ( 1,0) (0,1)? ，∴ 22lg(1 )() ( 2) 2xfx x ?? ? ? ?22lg(1 ) xx???， ∵ 2222l g [1 ( ) ] l g (1 )() () xxfx xx? ? ?? ? ? ? ??()fx? ∴ ()fx為偶函數(shù) （ 4）當 0x? 時， 0x??，則 22( ) ( ) ( ) ( )f x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 當 0x? 時， 0x??，則 22( ) ( ) ( ) ( )f x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 綜上所述，對任意的 ( , )x? ???? ，都有 ( ) ( )f x f x? ?? ，∴ ()fx為奇函數(shù)． 例 3． 若奇函數(shù) ()fx是定義在（ 1? ， 1）上的增函數(shù)，試解關(guān)于 a 的不等式： 2( 2 ) ( 4 ) 0f a f a? ? ? ?． 解：由已知得 2( 2) ( 4)f a f a? ? ? ? 因 f(x)是奇函數(shù)，故 22( 4) ( 4 )f a f a? ? ? ?，于是 2( 2) (4 )f a f a? ? ?． 又 ()fx是定義在（ ? 1， 1）上的增函數(shù)，從而 2232241 2 1 1 3 3 21 4 1 5 3 3 5aaaa a aa aa?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 或 即不等式的解集是 ( 3, 2) ． 例 4． 已知定義在 R 上的函數(shù) ()fx對任意實數(shù) x 、 y ，恒有 ( ) ( ) ( )f x f y f x y? ? ?，且當0x? 時， ( ) 0fx? ，又 2(1) 3f ?? ． （ 1）求證： ()fx為奇函數(shù)；（ 2）求證： ()fx在 R 上是減函數(shù)；（ 3）求 ()fx在 [ 3? ， 6]上的最大值與最小值． （ 1） 證明 ：令 0xy??，可得 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) ( 0 )f f f f? ? ? ?，從而， f(0) = 0． 令 yx?? ，可得 ( ) ( ) ( ) ( 0) 0f x f x f x x f? ? ? ? ? ?，即 ( ) ( )f x f x? ?? ，故 ()fx為奇函數(shù)． （ 2） 證明： 設(shè) 12,xx∈ R，且 12xx? ，則 120xx??，于是 12( ) 0f x x??．從而 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以， ()fx為減函數(shù)． （ 3） 解： 由（ 2）知，所求函數(shù)的最大值為 (3)f ? ，最小值為 (6)f ． ( 3 ) ( 3 ) [ ( 2) ( 1 ) ] [ 2 ( 1 ) ( 1 ) ] 3 ( 1 ) 2f f f f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6) ( 6) [ ( 3 ) ( 3 ) ] 4f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是， ()fx在 [3， 6]上 的最大值為 2，最小值為 4． 【課內(nèi)練習(xí)】 1．下列命題中，真命題是（ C ） A．函數(shù) 1yx? 是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為減函數(shù) B．函數(shù) 30( 1)y x x??是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù) C．函數(shù) 2yx? 是偶函數(shù)，且在（ ? 3， 0）上為減函數(shù) D．函數(shù) 2 ( 0)y ax c ac? ? ?是偶函數(shù)，且在（ 0， 2）上 為增函數(shù) 提示： A 中， 1y x? 在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性； B 中，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱； D中，當 0a? 時， 2 ( 0)y ax c ac? ? ?在（ 0， 2）上為減函數(shù)，答案為 C． 2． 若 )(x? ， ()gx 都是奇函數(shù)， ( ) ( ) ( ) 2f x a x bg x?? ? ?在（ 0，＋∞）上有最大值 5，則 ()fx在（－∞， 0）上有（ ） A． 最小值－ 5 B． 最大值－ 5 C． 最小值－ 1 D． 最大值－ 3 提示： )(x? 、 ()gx 為奇函數(shù)，∴ )()(2)( xbgxaxf ??? ? 為奇函數(shù)． 又 ()fx有最大值 5， ∴－ 2 在（ 0，＋∞）上有最大值 3． ∴ ()fx－ 2 在 ( , 0)?? 上有最小值－ 3，∴ ()fx在 ( , 0)?? 上有最小值－ 1．答案為 C． 3．定義在 R 上的奇函數(shù) ()fx在（ 0， +∞）上是增函數(shù)，又 ( 3) 0f ?? ，則不等式 ( ) 0xf x ?的解集為（ A） A．（－ 3， 0）∪（ 0， 3） B．（－∞，－ 3）∪（ 3， +∞） C．（－ 3， 0）∪（ 3， +∞） D．（－∞，－ 3）∪（ 0， 3） 提示：由奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合圖象來解．答案為 A． ()y f x? 是偶函數(shù)， ( 2)y f x??在［ 0， 2］上是單調(diào)減函數(shù)，則（ A） A. (0) ( 1) (2)f f f? ? ? B. ( 1) (0) (2)f f f? ? ? C. ( 1) (2) (0)f f f? ? ? D. (2) ( 1) (0)f f f? ? ? 提示：由 f（ x－ 2）在［ 0， 2］上單調(diào)遞減，∴ ()fx在［－ 2， 0］上單調(diào)遞減 . ∵ ()y f x? 是偶函數(shù)，∴ ()fx在［ 0， 2］上單調(diào)遞增 . 又 ( 1) (1)ff?? ，故應(yīng)選 A. 5． 已知 ()fx奇函數(shù)，當 x ∈（ 0， 1）時， ()fx? lg x?11 ，那么當 x ∈（－ 1， 0）時， ()fx的表達式是 lg(1 )x? ． 提示：當 x? （－ 1， 0）時， x? ∈（ 0， 1），∴ 1( ) ( ) l g l g (1 )1f x f x xx? ? ? ? ? ? ??． 6． 已知 xa xaxf ? ??? 2log)( 3 是奇函數(shù)，則 2022a ＋ 2022a = 2022． 提示： 3 2(0) log 0af a???， 2 1aa? ? ，解得： 1a? ，經(jīng)檢驗適合， 2022 200 7 200 8aa ??． 7． 若 ()fx是偶函數(shù)，當 x ∈ ［ 0， +∞)時， ( ) 1f x x?? ，則 ( 1) 0fx?? 的解集是 { | 0 2}xx?? 提示 ：偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，先作出 ()fx的圖象， 由 圖可知 ( ) 0fx?的解集為 { | 1 1}xx? ? ? ，∴ ( 1) 0fx?? 的解集為 { | 0 2}xx?? . 8．試判斷下列函數(shù)的奇偶性： （ 1） ( ) | 2 | | 2 |f x x x? ? ? ?； （ 2）331)( 2???? x xxf； （ 3） 0)1(||)( ?? xxxxf ． 解：（ 1）函數(shù)的定義域為 R， ( ) | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | ( )f x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 ()fx為偶函數(shù)． （ 2）由 210| 3| 3 0xx? ??? ? ? ??得： 1 1 0xx? ? ? ?且 ，定義域為 [ 1, 0) (0, 1]? ，關(guān)于原點對稱， 2211()33xxfx xx??????， 21( ) ( )xf x f xx?? ? ? ??，故 ()fx為奇函數(shù)． （ 3）函數(shù)的定義域為 (∞， 0)∪ (0， 1)∪ (1， +∞ )，它不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù)． 9． 已知函數(shù) ()fx對一切 ,x y R? ，都有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?，若 ( 3)fa?? ，用 a表示 (12)f ． 解：顯然 ()fx的定義域是 R ，它關(guān)于原點對稱．在 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?中， 令 yx?? ，得 (0) ( ) ( )f f x f x? ? ?， 令 0xy??，得 (0) (0) (0)f f f??，∴ (0) 0f ? ， ∴ ( ) ( ) 0f x f x? ? ?，即 ( ) ( )f x f x? ?? ， ∴ ()fx是奇函數(shù)． ∵ ( 3)fa?? ， ∴ ( 12) 2 ( 6) 4 ( 3 ) 4 ( 3 ) 4f f f f a? ? ? ? ? ? ?． 10． 已知函數(shù) 2 1( ) ( , , )axf x a b c Zb x c????是奇函數(shù)，又， (1) 2f ? ， (2) 3f ? ，求 a 、 b 、c 的值 . 解：由 ( ) ( )f x f x? ?? 得 ()bx c bx c? ? ? ? ? ∴c=0. 又 (1) 2f ? ，得 12ab?? ， 而 (2) 3f ? ，得 4131aa? ?? ，解得 12a? ? ? . 又 aZ? ， ∴ 0a? 或 1a