計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想—迭代數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文設(shè)計(jì)(參考版)
2025-06-05 22:21本頁(yè)面
【正文】 。 最后我要特別感謝我的父母，在我漫長(zhǎng)的求學(xué)生涯中他們的無(wú)私關(guān)愛(ài)、鼓勵(lì)和支持是我不斷前進(jìn)的力量源泉。他們不僅生活上給我大學(xué)帶來(lái)了樂(lè)趣，并且在學(xué)習(xí)上幫我找資料，找素材。至此，我謹(jǐn)向?qū)熞约袄蠋焸冎乱猿绺叩木匆夂驼\(chéng)摯的謝意。李老師很平易近人，為人熱情，在學(xué)術(shù)上又高度 嚴(yán)謹(jǐn)，本文的完成離不開(kāi)李老師的支持。我想隨著計(jì)算科學(xué)的深入研究探討，迭代法將會(huì)更加完善與功能性強(qiáng)，將會(huì)處理更多復(fù)雜而又繁瑣的問(wèn)題。甚至我們?cè)诔鰜?lái)問(wèn)題的時(shí)候，有時(shí)要結(jié)合不同的迭代法進(jìn)行處理。本文探討的 就是大家都比較熟悉的迭代法，比喻：不動(dòng)點(diǎn)迭代，二分法，高斯 拉夫森法，牛頓法等。 設(shè)方程⑦中 u 和 v 為 0： 10 ( , )f x y? 20 ( , )f x y? Ⅰ 設(shè)（ p， q）為上述方程組的解，即 10 ( , )f pq? 20 ( , )f p q? Ⅱ 為利用牛頓法求解Ⅰ，需要考慮函數(shù)在點(diǎn) 00( , )pq 的微小變化： 0u u u? ? ? 0p x p? ? ? 0v v v? ? ? 0q y q? ? ? 設(shè)方程組⑦中（ x， y） =（ p， q），并利用式Ⅱ，可得到（ u， v） =（ 0， 0）。如果兩個(gè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)，則在點(diǎn) 00( , )xy 處用微分表示下列線性近似方程組是合法的 0 1 0 0 0 1 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( )u u f x y x x f x y y yxy??? ? ? ? ? 0 2 0 0 0 2 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( )v v f x y x x f x y y yxy??? ? ? ? ? ⑧ 方程組⑧是一個(gè)局部線性變換，它將自變量的微小變化聯(lián)系起來(lái)。如果初始點(diǎn)值足夠接近不動(dòng)點(diǎn)，則有下面 2種情況 （二維） 如果 00( , )pq 足夠接近（ p， q）而且 11( , ) ( , ) 1ggp q p qxy???? 22( , ) ( , ) 1ggp q p qxy???? 則迭代⑤收斂到不動(dòng)點(diǎn)（ p， q） （三維） 如果 0 0 0( , , )pqr 足夠接近（ p， q， r），而且 111( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 222( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 333( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 則迭代⑥將收斂到不動(dòng)點(diǎn)（ p， q， r） 如果上述條件不滿足，則迭代可能發(fā)散 賽德?tīng)柕ㄅc牛頓法 現(xiàn)在可以構(gòu)造一個(gè)與高斯 賽德?tīng)柗?lèi)似的改進(jìn)型不動(dòng)點(diǎn)迭代法，設(shè)用 1kp?計(jì)算 1kq? （在三維情況下，用 1kp? 和 1kq? ，計(jì)算 1kr? ），并將這些改進(jìn)融入公式⑤和⑥中時(shí)，這個(gè)方法稱(chēng)為賽德?tīng)柕? 11( , )k k kp g p q? ? 1 2 1( , )k k kq g p q??? 以及 11( , , )k k k kp g p q r? ? 1 2 1( , , )k k k kq g p q r??? 1 3 1 1( , , )k k k kr g p q r? ? ?? 下面我們把牛頓法擴(kuò)展到二維空間 設(shè)有方程組 1( , )u f x y? 2( , )v f x y? ⑦ 27 它意味著從 xy 平面到 w 平面的轉(zhuǎn)換。 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , )du dxdF dv J x y z dy J x y z dXdw dz? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 接近不動(dòng)點(diǎn)處的收斂性 定義 包含 2個(gè)方程 1( , )x g x y? ， 2( , )y g x y? ③ 的方程組的不動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)（ p，q），滿足 12( , ) ( , )p g p q q g p q??且 。 如果使用向量表示，則關(guān)系式②可通過(guò)雅克比矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)化。設(shè)有如下表達(dá)式 1( , , )u f x y z? ， 2( , , )v f x y z? ， 3( , , )w f x y z? ① 設(shè)已知表達(dá)式①中函數(shù)在點(diǎn) 0 0 0( , , )x y z 處的值，現(xiàn)在希望可以預(yù)測(cè)在臨近點(diǎn)（ x， y， z）處的值。可定義 X 和 Y 的距離為1*范數(shù)，表示為 1 1NjjjX Y x y?? ? ?? 例題： 計(jì)算點(diǎn) P=（ 2， 4， 3）和 Q=（ ， ， ）的歐幾里得距離和1*距離 解：歐幾里得距離為 2 2 2 1 / 2( ( 2 1. 75 ) ( 4 3. 75 ) ( 3 2. 95 ) )PQ? ? ? ? ? ? ?= 23 1*距離為1 2 1. 75 4 3. 75 3 2. 95PQ? ? ? ? ? ? ?= 1*更容易計(jì)算，常用來(lái)確定 N 維空間的收斂性 24 第六章 非線性方程組的迭代法 理論與廣義微分 定義 （雅克比矩陣） 設(shè) 1( , )f xy 和 2( , )f xy 是包含自變量 x 和 y 的函數(shù)，則它們的雅克比 矩陣 J（ x， y）表示為1122ffxyffxy???????????????? 同理如果1( , , )f x yz ， 2( , , )f x y z ， 3( , , )f x y z 是包含自變量 x， y， z 的函數(shù)，則 33?雅克比矩陣 J（ x， y， z）定義為 111222333fffx y zfffx y zfffx y z???????? ? ??????? ? ????????? ? ??? 。根據(jù)這些不等式可以得證上述不等式1 1 11 1 1N N Nj j j jj j jX Y x y x y X Y? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?。 上面很容易證明，我們證一下最后一個(gè)。根據(jù)線性代數(shù)的理論可知，如果兩個(gè)向量的1*范數(shù)接近，則它們的歐幾里得范數(shù) * 也接近 定理 設(shè) X 和 Y 是 N 維向量， c 是一個(gè)標(biāo)量。 例題： 利用上面給的線性方程組用高斯 賽德?tīng)柕^(guò)程求解 1 7 4kkk yzx ? ??? 11 2 1 4 8kkk xzy ?? ??? 111 1 5 2 5kkk xyz ??? ??? 如果從 P0=（ x0， y0， z0） =（ 1， 2， 2）開(kāi)始，用上式中的迭代可收斂到解（ 2， 4， 3） 我們把計(jì)算結(jié)果列表得： K Xk Yk Zk 0 1 2 3 8 9 10 22 下面我們來(lái)探討收斂性： 比較向量之間的距離是很重要的，它可以用來(lái)判斷 {}kp 是否收斂到 P。我們觀察雅克比迭代。 定理 （雅克比迭代） 設(shè)矩陣 A 具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)，則 AX=B 有唯一解X=P。 雅克比迭代： ( 1)jkx ? = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1k k k kj j jj j jj j jN Njjb a x a x a x a xa? ? ? ?? ? ? ? ?… … 其中 j=1， 2，?， N。坐標(biāo) kP 的上標(biāo)（ k）可用來(lái)標(biāo)識(shí)屬于這一點(diǎn)的坐標(biāo)。 20 現(xiàn)在使雅克比迭代過(guò)程一般化。 定理 設(shè)有 NN? 維矩陣 A，如果1Nkk kjjjkaa???? 其中 k=1， 2，??， N， 則稱(chēng) A 具有 嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì) 。我們稱(chēng)這個(gè)過(guò)程為 雅克比迭代 在求解偏微分方程時(shí)，線性方程組經(jīng)常多達(dá) 10000 個(gè)變量。 （二重根情況下的加速收斂） 從 p0= 開(kāi)始，使用加速牛頓 拉夫森迭代求函數(shù) 3( ) 3 2f x x x? ? ?的二重根 p=1 解： 由于 M=2，加速公式變?yōu)? 31 1 11 211( ) 3 42 ( ) 3 3k k kkk kkf p p ppp f p p? ? ?
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