【正文】 根據(jù)表達式的特點，結(jié)合柯西不等式尋找 ( 1, 2, , )ix i n? ??? 的范圍． 解：將 2 2 2 20 1 2 nz z z z? ? ? ????轉(zhuǎn)化到實數(shù)范圍內(nèi)，即 002 2 201101nnkkkknkkkx x y yx y x y???? ? ? ????? ?????? ． （ ） 若存在實數(shù) 01, , , ny y y??? 使（ 24）成立，則02 2 201()nkkk x y x y? ??． 由柯西不等式可得 02 2 2 2011( )( )nnkkkkx y x y??? ?? ． （ ） 如果0221nkkxx???，由（ ）可得 220 1nkkyy???，從而02 2 2 2011( )( )nnkkkkx y x y??? ??與（ ） 矛盾，于是得 220 1nkkxx??? ． （ ） 反之，若（ ）成立，有兩種情況 ① 20 1nkkxx???，則取 kkyx? ， 1,2, ,kn? ??? ，顯然（ ）成立 ② 20 1nkkxx???，則 221 0nkoka x x?? ? ??，則 12,nx x x??? 不全為 0 不妨設(shè) 0nx? ，取 0ky? ， 0,1, , 2kn? ??? ? ，有11 2 2 2 211,nnnnn n n na x a xyyx x x x????? ? ???. 易知（ ）成立 . 綜上，所求的條件為 20 1nkkxx???． 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 18 第 七 章 結(jié) 論 高等代數(shù)許多內(nèi)容的知識背景源于中學(xué)，在課程教學(xué)改革實踐中，不僅要挖掘知識體系方面的聯(lián)系，更要挖掘數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念方面的聯(lián)系．從數(shù)學(xué)方法論的角度看，高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在思想方法方面的聯(lián)系主要體現(xiàn)在抽象化思想、分類思想、結(jié)構(gòu)思想、類比推理思想、公理化方法等方面．注意與中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系對比不但可以降低高等代數(shù)課程的學(xué)習(xí)難度，而且也可增強本課程對培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)作用 ． 從基本概念、定理以及知識背景等方面闡述高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的 區(qū)別與聯(lián)系，把中學(xué)數(shù)學(xué)知識恰當(dāng)?shù)厝谌氲礁叩却鷶?shù)的教學(xué)中來，將受到更好的效果．另外，用高等代數(shù)的觀點去研究初等數(shù)學(xué)史新世紀(jì)對中學(xué)數(shù)學(xué)教師的高水平要求，教師是否具有較高的教學(xué)觀點，是衡量教師數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要標(biāo)準(zhǔn)．教師具有高的觀點，就能從高處看清中學(xué)教材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)聯(lián)系，把握教材的重、難點；教師具有高觀點，就能從認(rèn)知的角度，在知識的各部分參透高等數(shù)學(xué)的觀點，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性、判斷性思維． 高等代數(shù)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)并不是簡單的一題多解 ,而是一種知識的融會貫通和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散和聯(lián)想思維．此外 ,高等代數(shù)中講到的代數(shù)運算 、數(shù)學(xué)歸納法、同構(gòu)映照、變換等方法和思想亦可應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)中 ,以免學(xué)生學(xué)完高等代數(shù)只知行列式、矩陣就是用來求解方程組．同時使高等代數(shù)知識得到一定的應(yīng)用并讓學(xué)生對高等代數(shù)產(chǎn)生更大的興趣．更重要的是使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的每一個分支都是一種工具 ,而且各分支之間是有聯(lián)系的．讓學(xué)生把數(shù)學(xué)作為一種工具學(xué)好用好是我們的目標(biāo)之一． 用高等的觀點去研究初等數(shù)學(xué)是新世紀(jì)對中學(xué)數(shù)學(xué)教師高水平的要求 ,教師是否具有較高的數(shù)學(xué)觀點 ,是衡量教師數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要標(biāo)準(zhǔn) .教師具有高的觀點 ,就能從高處看清中學(xué)教材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)聯(lián)系 ,把握教材的重難點 。證明直線 AC 經(jīng)過原點 O ． 分析： xyOABC 圖 如圖所示，欲證直線 AC 經(jīng)過原點 O ，只須證 ,AOC 三點共線即可。39。39。 39。 定理 【 4】 :對于實系數(shù)二元二次多項式 22A x B x y Cy D x E y F? ? ? ? ?在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可分解的充要條件是 : 2 0AB ? B D 2C D D E 2F ． 證明 : 22A x B x y Cy D x E y F? ? ? ? ?可以分解成兩個一次因式的充要條件是x 二的二次三項式 22()A x B y D x Cy E y F? ? ? ? ?的判別式是一個完全平方式 ,即22( ) 4 ( )By D A C y Ey F? ? ? ?是完全平方式 ． 而 22( ) 4 ( )By D A C y Ey F? ? ? ? = 2 2 2 22 4 4 4B y BD y D ACy AE y AF? ? ? ? ? = 2 2 2( 4 ) ( 2 4 ) ( 4 )B A C y B D A E y D A F? ? ? ? ? 上式是完全平方式的充要條件是它的判別等于 O,即 2 2 2( 2 4 ) 4 ( 4 ) ( 4 ) 0B D A E B A C D A F? ? ? ? ? 展開整理 ,即 : 2 2 240ACF BD E AE B F C D? ? ? ? ?即20AB ? B D 2C D D E 2F 證畢 ． 例 n 為何值時 ,方程 222 4 2 0x x y y m x m y m? ? ? ? ? ?表示兩條直線． 解 :要使方程 222 4 2 0x x y y m x m y m? ? ? ? ? ?表示兩條直線 ,只須使多項式興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 9 222 4 2 0x x y y m x m y m? ? ? ? ? ?可分解為兩個二元一次因式之積 ,故只須使 。3( ( ), ( )) ( 1) ,f x f x x??由重因式定理， 1x? 是 ()fx的 4 重因式， 所以 4( ) ( 1) ( 4)f x x x? ? ?． 利用因數(shù)定理分 解多項式 引理 【 3】 xc? 是 ()fx的因式的充分必要條件是 ()fc =0 亦即 xc? 是 ()fx的因式， c 是 ()fx的根，并且 c 是 ()fx的幾重根， xc? 就是 ()fx的幾重因式． 這樣只要求出 ()fx的若干個根，就可得到 ()fx的若干個因式，用 ()fx除以興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 6 這若干個因式的積，得到商式，分解 ()fx就轉(zhuǎn)化為分解商式，達到“降次”分解的目的． 分析：引入新變量代替多項式中某些變量，使原多項式變?yōu)樾伦兞康亩囗検?，這種方法叫做換元法．通過換元，使關(guān)于新變量的多項式次數(shù)較原多項式次數(shù)小，達到降次分解的目的． 例 求 5 3 2( ) 10 20 15 4f x x x x x? ? ? ? ?在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式． 解 ()fx的首項系數(shù) 1 的因子有 1? ，常數(shù)項 4? 的因子有 1, 2? ? ?， 4， 故 ()fx的根有可能是 1, 2? ? ?， 4， 將其代入 ()fx逐一檢驗，得出 1? 和 4 是 ()fx的有理根．不妨設(shè) 32( ) ( 1 ) ( 4) ( 1 )f x x x x ax bx? ? ? ? ? ?，利用多項式乘法法則將右邊展開且合并同類項，得 5 4 3 2( ) ( 3 ) ( 4 3 ) ( 1 3 4 ) ( 3 4 ) 4f x x a x b a x b a x b x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 與進行逐項比較，得 3ab??． 所以， 3 2 4( ) ( 1 ) ( 4) ( 3 3 1 ) ( 1 ) ( 4)f x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?． 換元法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過換元可以使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，從而達到化難為易、化繁為簡．在因式分解中，尤其對倒數(shù)多項式更為有效． 利用對稱多項式與輪換多項式的性質(zhì)分解多項式 對稱多項式都是輪換多項式，所以只討論輪換多項式的分解即可．分解輪換多項式就是選定一個元為主元，將其它元看成常數(shù)，原多項式就被看成是關(guān)于主元的多項式．利用因式定理知，求出一個根即可得到一個因式，利用輪換多項式的 性質(zhì)，求出一個元為文字的多項式的根，即可得關(guān)于其它元作為主元的根，從而得到幾個相應(yīng)的因式，達到降次分解的目的． 多項式理論是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一 ,它與中學(xué)數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系 .它解決了初等數(shù)學(xué)中關(guān)于多項式的很多遺留問題 ,如多項式的根及因式分解理論 ,興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 7 對中學(xué)數(shù)學(xué)解題有居高臨下的作用 . 例 多項式 4 3 2( ) 5 4 3 1 7f x x x x x? ? ? ? ?當(dāng) 2 41xx??時 ,求此多項式的值 . 解 將條件等式變形為 2 41xx??,由 1|f(x),所以 2 4xx? | ()除法 ,得 22( ) ( ) ( 4 ) 3 17f x x x x x x? ? ? ? ?,在將 2 41xx??代入上式 , 可得 2( ) 4 1 7 1 8f x x x? ? ? ?. 例 已知 a b c、 、 為整數(shù) ,且滿足 a b cb c a?? 與 a c bc b c?? 均為整數(shù) , 求證 abc??. 證明 ： 設(shè) ( ) ( ) ( ) ( )a b bf x x x xb c c? ? ? ?. 于是 32( ) ( ) ( ) 1a b c a c bf x x x xb c a c b a? ? ? ? ? ? ? ? 由已知條件知 ()fx是首項系數(shù)為 1 的整系數(shù)多項式 , a b cb c a?? 是它的三個有理根 ,于是 a b cb c a?? 均為整數(shù) ,又因為它們的乘積為 1,所以 a b cbca?? ,故abc??. 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 8 第四 章 行列式在 初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 應(yīng)用行列式判定二元二次多項式的可分解性 實系數(shù)二元二次多項式 22A x B x y Cy D x E y F? ? ? ? ?在復(fù)數(shù)域內(nèi)是否可以分解因式 ,是初等代數(shù)學(xué)的一個重要問題．它不僅關(guān)系到因式分解 ,而且關(guān)系到 :方程22 0Ax Bx y C y D x Ey F? ? ?