多項(xiàng)式理論在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文(參考版)
2025-04-07 04:00本頁面
【正文】 多項(xiàng)式理論在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文1 判斷能否分解因式多項(xiàng)式的因式分解是指在給定的數(shù)域上，一個(gè)多項(xiàng)式可能在一個(gè)數(shù)域上不可約，因?yàn)樗荒芊纸獬捎欣頂?shù)域上兩個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積，但這個(gè)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上可約，因?yàn)?因?yàn)樵诔醯葦?shù)學(xué)中，我們接觸最多的是有理數(shù)域上的多項(xiàng)式且多項(xiàng)式次數(shù)不超過次，所以本文將在有理數(shù)域上對因式分解作進(jìn)一步探討. 待定系數(shù)法按照已知條件把原式假設(shè)為若干個(gè)因式的乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，由于這些因式的連乘積與原式恒等，根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，求出待定系數(shù).例1 判斷在有理數(shù)域上能否分解因式.解 令，因?yàn)椋? 比較等式兩端的對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得 由②知 或，若，則 但；若，則，但 ，. 艾森斯坦判斷法 定理1 （艾森斯坦判斷法）（i) 最高次項(xiàng)系數(shù)不能被整除； (ii) 其余各項(xiàng)的系數(shù)都能被整除；（iii) 常數(shù)項(xiàng)不能被整除，那么多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約. 例2 判斷在有理數(shù)域上能否分解因式. 解 令，易找到素?cái)?shù)，滿足上述條件， ，. 艾森斯坦判斷法不是對于所有整系數(shù)多項(xiàng)式都能應(yīng)用的，那么可能在有理數(shù)域上可約，對于多項(xiàng)式與來說，都找不到一個(gè)滿足判斷法的條件素?cái)?shù)，但顯然前一個(gè)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約， 艾森斯坦判斷法不能直接應(yīng)用，但是我們可以把適當(dāng)變形后，就可以應(yīng)用這個(gè)判斷法，例如，令 得，因?yàn)?，所以在有理?shù)域上不可約. 以上通過待定系數(shù)法和艾森斯坦判斷法，我們就可以知道多項(xiàng)式能否分解因式.2 分解因式 在初等數(shù)學(xué)中，我們接觸的分解因式常用的方法都比較簡便、特殊，如提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法，拆項(xiàng)法，添項(xiàng)法等，這里我將介紹多項(xiàng)式理論中的三種方法來解決較高次多項(xiàng)式的因式分解問題. 綜合除法 綜合除法用以尋找所給整系數(shù)多項(xiàng)式的一次因式，有因式的充要條件是，：如果整系數(shù)多項(xiàng)式有因式（，是互質(zhì)的整數(shù)）則一定是的約數(shù)，一定是的約數(shù). 具體做法是： （1）先寫出整系數(shù)多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)，然后以的因數(shù)為分母，的因數(shù)為分子，做出所有可能的既約分?jǐn)?shù)（包括整數(shù)），如果有有理根，則必在這些既約分?jǐn)?shù)中，因此它們是可能的試除數(shù). （2），1與 1永遠(yuǎn)在有理
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