德薩格定理在初等幾何中的應(yīng)用畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-30 14:14本頁(yè)面
【正文】 通過(guò)他們四年的教導(dǎo)，我才有一定的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)來(lái)完成這篇論文。參考文獻(xiàn)[1] 王兵. 幾何學(xué)的思想與方法 [M]. 濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，.[2] 張景中. 幾何新方法和新體系 [M]. 北京：科學(xué)出版社，2009.[3] 言川. 中學(xué)幾何證題的思考方法 [M]. 太原：山西人民出版社，.[4] 鐘集. 高等幾何 [M]. 北京：高等教育出版社，.[5] 陳志杰. 高等代數(shù)與解析幾何 [M]. 北京：高等教育出版社，.[6] 樂(lè)嗣康. 幾何的證題與作圖 [M]. 杭州：浙江人民出版社，.[7] 梅向明，劉增賢，王匯淳，王智秋. 高等幾何 [M]. 北京：高等教育出版社，.[8] 沈純理，陳咸平，黃榮培，廖蔡生. 經(jīng)典幾何 [M]. 北京：科學(xué)出版社，2004.[9] 羅崇善，龐朝陽(yáng)，田玉屏. 高等幾何 [M]. 北京：高等教育出版社，[10] 崔萍，徐淑華. 指導(dǎo)與應(yīng)用：高等幾何與初等幾何的關(guān)系辨析 [N]. 曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào)，. 第29卷 第6期[11] 賀功保，葉美雄 三角形的五心 [M] 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，.致謝：《德薩格定理在初等幾何中的應(yīng)用》這篇論文從選題到文章有關(guān)知識(shí)的查詢和論文地撰寫(xiě)，***老師都做了細(xì)心的指導(dǎo)，并提出了寶貴的建議。只要你在學(xué)習(xí)與教學(xué)中足夠用心，刻苦鉆研，就能夠很好的把高等幾何的知識(shí)運(yùn)用到初等幾何中去，服務(wù)于解題，服務(wù)于教學(xué)。有了高等幾何的基礎(chǔ)，能更好地幫助我們挖掘初等幾何的內(nèi)涵，并將其拓展、豐富。發(fā)現(xiàn)高等幾何與初等幾何之間存在的一種內(nèi)在的聯(lián)系，了解初等幾何在幾何學(xué)中所處的戰(zhàn)略性地位，能夠?qū)⒆约涸趲缀螌W(xué)方面的眼界拓寬，也同樣便于我們從幾何學(xué)的全局和整體去理解分析初等幾何的教材，獲得并提高自己駕馭教材的本領(lǐng)，就能更透徹的理解很多在初等幾何中的問(wèn)題，使自己犯錯(cuò)誤的可能性大大降低。例12. 如圖20，設(shè)A、B、C為不共線的三點(diǎn)，P是過(guò)C的定直線上的一動(dòng)點(diǎn)，AP與BC交于X，AC與BP交于Y，則XY通過(guò)AB的一定點(diǎn)。(圖19)，因此需要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。在教學(xué)過(guò)程中，為了使之與前面已學(xué)的平行的概念緊密聯(lián)系，更好地掌握平行四邊形的圖形特征，并加深對(duì)平行概念的理解及將平行滲透到基本圖形中去，教師可以借助德薩格定理設(shè)計(jì)一系列相關(guān)的命題。(五)德薩格(Desargues)定理在設(shè)計(jì)中學(xué)幾何命題方面的應(yīng)用 ，在中學(xué)幾何課本中是學(xué)習(xí)完平行性后才專門(mén)介紹它的。但是像例10這類沒(méi)有明顯與三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，事實(shí)上是可以用德薩格(Desargues)定理去解決的，關(guān)鍵就在于自主構(gòu)造這個(gè)定理所需要的條件，對(duì)于一些圖形比較復(fù)雜的問(wèn)題而言，亦須如此。作法：如圖18，任取直線束S，設(shè)束中兩條直線交于A、C，交于，連接直線分別交直線束S的第三條直線于，在三點(diǎn)形與三點(diǎn)形中，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)S，根據(jù)德薩格(Desargues)定理可知，其三對(duì)對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，即，的不可到達(dá)的交點(diǎn)與P點(diǎn)，Q點(diǎn)共線，所以直線PQ為所求的直線。因此，我們可以將其轉(zhuǎn)化成為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即有關(guān)不可到達(dá)的點(diǎn)和直線的作圖問(wèn)題。(四)德薩格(Desargues)定理在作圖方面的應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中，我們往往會(huì)碰到這樣的實(shí)際問(wèn)題，比如說(shuō)我們需要挖三條從陸地一直延伸到海底的隧道，其中一條隧道既要通過(guò)某個(gè)城市，又要與另外兩條隧道交于一點(diǎn)。求當(dāng)頂點(diǎn)A、B分別在定直線上m、n上移動(dòng)時(shí)，第三個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡。如圖16，點(diǎn)P、Q、R是直線t上的三個(gè)定點(diǎn)， 是一變動(dòng)三角形，頂點(diǎn)A、B分別在定直線m、n上移動(dòng)，且m、n交于點(diǎn)O。證法1用的是初等幾何的知識(shí)證明的，思考過(guò)程復(fù)雜，牽扯到兩對(duì)三角形的相似，不易想到，但在證法2中應(yīng)用德薩格(Desargues)定理的逆定理來(lái)證明，只需找到透視三角形，利用它們的透視軸無(wú)窮遠(yuǎn)直線即可證，思路清晰，簡(jiǎn)單而巧妙，大大簡(jiǎn)化了思考的過(guò)程。 ∴H、G、O三點(diǎn)共線。 但BD與AE為的兩條中線， ∴其交點(diǎn)G必為的重心。證法2：在及中， ∵AB//ED，AH//EO，BH//DO?！郆H//OE。連接OE，AH//OD ∴∽ ∴。這兩個(gè)三角形由于AH//OD，可知是相似的，而另兩邊正好是中線AD被重心所分成的兩部分，所以 ∴ 問(wèn)題得到解決。因此需證明。所以我們考慮證明的夾邊成比例AG。證明這兩個(gè)三角形相似，利用角是不行的。為此需證明。證法1：思考方法：連接HG并延長(zhǎng)與BC的中垂線交于O，連接OE，則只要能證明OE⊥AC即可。(叫做Euler線)已知：三角形，其垂心為H，重心為G，外心為O。所以由德薩格定理知與中既然有三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，則其三對(duì)對(duì)應(yīng)邊的三個(gè)交點(diǎn)必共線，如圖14所示，X、Y、Z三點(diǎn)必在一直線上。如圖13。三個(gè)交點(diǎn)必共線.。以上三道例題都是用德薩格定理證明的。而例例7則是當(dāng)O點(diǎn)處在內(nèi)的特殊位置時(shí)的情況，即：(垂心)時(shí)，顯然,，就成為的垂足三角形，這兩個(gè)三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)必共線。證明：選取O為三點(diǎn)形與的透視中心，則由德薩格(Desargues)定理知，它們?nèi)龑?duì)對(duì)邊AB與DE，AC與DF，BC與EF的三個(gè)交點(diǎn)N、M、
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