專題一---恒成立與存在性問題(參考版)
2025-05-19 01:34本頁面
【正文】 陜西高考 ) 設(shè) 0 ＜ a ＜ b ，則下列不等式中正確的是 ( ) A ． a ＜ b ＜ ab ＜a ＋ b2 B ． a ＜ ab ＜a ＋ b2＜ b C ． a ＜ ab ＜ b ＜a ＋ b2 D. ab ＜ a ＜a ＋ b2＜ b B [ 解析 ] 法一： 代入 a ＝ 1 ， b ＝ 2 ，則有 0 ＜ a ＝ 1 ＜ ab ＝ 2 ＜a ＋ b2＝ ＜ b ＝ 2. 法二： 我們知道算術(shù)平均數(shù)a ＋ b2與幾何平均數(shù) ab 的大小關(guān)系，其余各式作差 ( 作商 ) 比較即可． [答案 ] B [ 例 6] (1) 已知 a 0 ， b 0 ， a ＋ b ＝ 2 ，則 y ＝1a＋4b的最小值 是 ( ) A.72 B ． 4 C.92 D ． 5 (2)(2021東城模擬 ) 函數(shù) f ( x ) ＝????? － x ＋ 1 ， x 0 ，x － 1 ， x ≥ 0 ，則不等式 x ＋ ( x ＋ 1) f ( x ＋ 1) ≤ 1 的解集是 ( ) A ． { x |－ 1 ≤ x ≤ 2 － 1} B ． { x | x ≤ 1} C ． { x | x ≤ 2 － 1} D ． { x |－ 2 － 1 ≤ x ≤ 2 － 1} [答案 ] C 已知????? x － y ＋ 2 ≥ 0 ，x ＋ y － 4 ≥ 0 ，2 x － y － 5 ≤ 0 ， 求： ( 1 ) z ＝ x ＋ 2 y － 4 的最大值； ( 2 ) z ＝ x2＋ y2－ 10 y ＋ 25 的最小值； ( 3 ) z ＝2 y ＋ 1x ＋ 1的范圍． 三種基本形式： 解： 作出可行域如圖，并求出頂點 的坐標(biāo) A(1,3)、 B(3,1)、 C(7,9)． (1)易知可行域內(nèi)各點均在直線 x＋ 2y－ 4＝ 0的上方，故 x＋ 2y－ 4＞ 0，將點 C(7,9)代入 z得最大值為 21. ( 2) z ＝ x2＋ y2－ 10 y ＋ 25 表示可行域內(nèi)任一點 ( x ， y ) 到定點 M ( 0,5) 的距離的平方，過 M 作直線 AC 的垂線，易知垂足 N 在線段 AC 上，故 z的最小值是 | MN |2＝92. ( 3) z ＝ 2 y － ? －12?x － ? － 1 ?表示可行域內(nèi)任一點 ( x ， y ) 與定點 Q ( － 1 ，－12) 連線的斜率的兩倍，因此 kQA＝74， kQB＝38，故 z 的范圍為 [34，72] ． [ 例 3] (201 1湖南高考 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ex－ 1 ， g ( x ) ＝－ x2＋ 4 x －3. 若有 f ( a ) ＝ g ( b ) ，則 b 的取值范圍為 ( ) A ． [2 － 2 ， 2 ＋ 2 ] B ． (2 － 2 ， 2 ＋ 2 ) C ． [ 1,3] D ． ( 1,3) [答案 ] B [ 例 2] ( 201 1 (1) 恒成立問題 1. ?
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