恒成立、存在性問題集錦(參考版)
2025-01-13 15:59本頁面
【正文】 。 綜上， k 的最小值為21。 ∴當(dāng)取 )221,0(0 kkx ?時(shí)， 0)0()( 0 ?? gxg ，即 200)( kxxf ? 不成立?！?1?k符合題意。 當(dāng) 0?k 時(shí)，令 2)()( kxxfxg ? ，即 2)1(ln)( kxxxxg ?? 1 )]21(2[21)( ????? x kkxxkxx xxg，令 0)( ?? xg ，得 12 21,0 21 ??? kxx 1． 當(dāng)21?k時(shí)， 0)(,0221 ??? xgkk在 ),0( ?? 上恒成立，∴ )(xg 在 ),0[ ?? 上單調(diào)遞減。 （ 1） )(xf 的定義域?yàn)?),( ??a ， ax axaxxf ?????? 111)( ，由 0)( ?? xf ，得 aax 1 ?? ， 5 當(dāng) x 變化時(shí)， )(),( xfxf? 的變化情況如下表： x )1,( aa a1 ),1( ??a )(xf? 0 + )(xf 極小值 因此， )(xf 在 ax 1? 處取得最小值，故由題意 01)1( ?? aaf ，∴ 1?a 。由 aa1 可知， a 應(yīng)從 0,1 分區(qū)間考慮 例 4 已知函數(shù) )(ln)( axxxf ?? 的最小值為 0,其中 0?a 。 綜上， 1?a 記為所求。 （ 2）若 0?a ， 在區(qū)間 1),(0 上 0)1(ln ??x 不恒成立 （ 3） 若 10 ??x ， 01 ?aa ，在區(qū)間 )1,0( aa 上 0)( ?? xf ，函數(shù) )(xf 為增函數(shù)， ∴ 0)0()( ?? fxf ∴ axx ?? )1(ln ， ∴區(qū)間 1),(0 上定有 x 使不等式 axx ?? )1(ln 在區(qū)間 1),(0 上不成立。 當(dāng) )0,21[??x時(shí)，31123 xxa ???恒成立，令 ?)(xh31123 xx??， )0,21[??x， ∵ 02 63)( 42 ????? xxxh ∴ )(xh 在區(qū)間 )0,21[?上是增函數(shù)， 5)21()]([ m in ??? hxh，則 5?a 。當(dāng) x 變化時(shí)， )(),( xfxf? 的變化情況如下表： 當(dāng) ]21
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