恒成立與存在性問題的解題策略(參考版)
2025-03-28 02:09本頁面
【正文】 于是有 ,這等價于方程的兩個根為2和3,于是可解得.第 20 頁。③若方程有解，求實(shí)數(shù)a的范圍。二．簡答題（每題10分）８、（10分）若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍解：①對一切實(shí)數(shù)x,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍?！摺?，∵，∴在區(qū)間上只有一個解。（2）據(jù)題意：存在，使成立，即為：在有解，故，由（1）知，于是得。令，得或。７、已知兩函數(shù)，g(x)=6x224x+21。(如圖3)則有或解得或，綜上可得即。解析：當(dāng)時，在上恒成立，而在上恒成立，顯然不滿足題意；(如圖1)當(dāng)時，在上遞減且只在上恒成立，而是一個開口向下且恒過定點(diǎn)（0，1）的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。 所以對，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。設(shè)（），則是一個以為自變量的一次函數(shù)。答案：選B4．當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解析: 當(dāng)時，則易知在上是減函數(shù)，所以時，則∴.5．已知不等式對任意都成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為 ?。治觯阂阎獏?shù)的范圍，要求自變量的范圍，轉(zhuǎn)換主參元和的位置，構(gòu)造以為自變量作為參數(shù)的一次函數(shù)，轉(zhuǎn)換成，恒成立再求解。 |(x+1)(x2)|=3,故實(shí)數(shù)的取值范圍：a3不等式有解，則的取值范圍是 解：原不等式有解有解，而，所以。 或的上界大于或等于；高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)強(qiáng)化班第四講（140709）課后練習(xí)答案：一．填空選擇題（每小題6分，共60分）對任意的實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍 。 或的下界小于或等于；③不等式對時恒成立。①不等式對時恒成立。綜合（1）（2）（3）知實(shí)數(shù)x的取值范圍是：(1，1)∪(1,3)例、設(shè)命題P:x1,x2是方程x2ax2=0的二個根，不等式|m25m3|≥|x1x2|對任意實(shí)數(shù)a∈[1,1]恒成立；命題Q：不等式|x2m||x|1(m0)有解；若命題P和命題Q都是真命題，求m的值范圍。(1)當(dāng)x1時，f(p)關(guān)于p單調(diào)增加，故fmin(p)=f(2)=x24x+30,解得1x3。求使關(guān)于p的不等式在p∈[2,2]有解的x的取值范圍。綜合（1）（2）（3）知實(shí)數(shù)的取值范圍是：(0，4/5)∪[1,2]已知兩函數(shù)，對任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 解析：對任意，存在，使得等價于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴題型二、主參換位法(已知某個參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個參數(shù)的函數(shù))題型三、分離參數(shù)法（欲求某個參數(shù)的范圍，就把這個參數(shù)分離出來）題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法））五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間D上的.存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______。(2)對稱軸x=a2時，m(a)= fmin(x)=f(2)=54a，由m(a)n(a) 解得a10/9,（注意到a的范圍）從而得a無解：。解：（1） 當(dāng)時，則問題轉(zhuǎn)化為 （2） 當(dāng)時，則問題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或四、其它類型恒成立問題能成立問題有時是以不等式有解的形式出現(xiàn)的。（八）利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即：，則且，不等式的解即為實(shí)數(shù)的取值范圍。由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對于恒成立。故實(shí)數(shù)的取值范圍:（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想 1（1990年全國高考題）設(shè)，其中a為實(shí)數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時有意義，求a的取值范圍。此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.1當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解法2：可設(shè)，用一次函數(shù)知識來解較為簡單。③當(dāng)時，要使恒成立，只有。①當(dāng)時，要使不等式恒成立，只要， 解得。（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏 當(dāng)時，不等式恒成立，求x的范圍。若考慮到直線過定點(diǎn)A（0，1），而曲線為圓,圓心C（a，0），要使直線恒與圓有交點(diǎn)，那么定點(diǎn)A(0,1)必在圓上或圓內(nèi)。當(dāng)直線為l2時，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為6a4=0，a=∴a的范圍為（五）合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì)
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