數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-求方程的近似解方法及比較分析(參考版)
2024-09-06 11:41本頁面
【正文】 。 特別地，要感謝我的父母，他們是我求學(xué)道路上巨大的精神靠山，沒有他們的理解與支持，也許我就不能跨越一道道的難關(guān)。值此畢業(yè)之際，謹(jǐn)向 她 致以崇高的敬意。 劉 老師勤奮踏實(shí)的工作作風(fēng)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和活躍的學(xué)術(shù)思維讓我受益匪淺。這種差異，主要是由于 LU分解的時(shí)候，每次只是計(jì)算跟主元同行和同列、標(biāo)號(hào)在主元之后的元，而高斯消去法是標(biāo)號(hào)在主元之后的每個(gè)元都要計(jì)算。 LU 分解法在適用范圍、編寫繁簡以及運(yùn)算速度方面都比較優(yōu)越。 LU 分解法可以使用于任何矩陣，從使用范圍來說 LU 分解法優(yōu)點(diǎn)相當(dāng)明顯。系數(shù)矩陣的 LU 分解與右端項(xiàng)無關(guān)。 高斯列主元消去法計(jì)算簡單，工作量大為減少，且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)與理論分析均表明，它具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，故列主元法是求解中小型稠密線性方程組的最好方法之一。雅克比迭代法 13 的收斂條件是： 為精度要求 高斯列主元消去法 特點(diǎn)是每次在系數(shù)矩陣中依次按列在主對(duì)角線以下的元素中，選取絕對(duì)值最大的元素作為主元 ，將它調(diào)至主對(duì)角線上，然后用它去消去對(duì)角線以下的元素，最后變?yōu)橥獾纳先切畏匠探M求解。迭代法不存在誤差累積問題。 11 令 ， 由 雅 克 比 迭 代 公 式(k=0,1,2,… )有： D 于是，根據(jù)雅克比迭代法的計(jì)算公式可求出方程組的解。 迭代法 解題步驟 ： 將方程組記為 Ax=b，其中 A= b= 將原方程組改寫為 (1) 也可寫為 x=Bx+f 其中 B= f= 任取初始值 = ,代入（ 1）式右邊，得到新的值： 再將 代入（ 1）式右邊得到 。 本章主要是 通過實(shí)例介紹三種方法的應(yīng)用以及其各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)比較。 如此重復(fù)，直到最后將原線性代數(shù)方程組化為 = 回代求解 得到 (k=n1,… ,2,1) 列主元消去法除了每步需要按列選出主元，然后進(jìn)行對(duì)換外，其消去過程與高斯順序消去法是相同的。 設(shè) 線 性 方 程 組 的 增 廣 矩 陣 為):():( )1()1()1( bAbAA ?? = 首先，在第一列中選取絕對(duì)值最大的元素 作為第一列的主 元，即 然后交換第一行與第 i 行，經(jīng)一次消元計(jì)算 9 得： =(A B) ， 此消去過程與高斯順序消去法完全相同。 依次進(jìn)行下去，一直到第 k1 步，即已求出 L的前 k1 列和 U的前 k1行的所有元素。 將高斯消去法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣 A 的元素得到計(jì)算 L， U 元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟，這就是所謂的直接三角分解法，一旦實(shí)現(xiàn)了矩陣 A的 LU分解，那么求解 Ax=b 的問題就等價(jià)于求解兩個(gè)三角形方程組： 的問題，而這兩個(gè)線性代 數(shù)方程組只要回代，就可以求出其解。當(dāng)用矩陣描述時(shí)，是對(duì)系數(shù)矩陣分解為一個(gè)上三角陣和一個(gè)下三角陣的乘積，即 LU分解。高斯消去法有多種變形，有的是高斯消去法的改進(jìn)，有的是用于某種特殊系數(shù)矩陣的化簡。反復(fù)進(jìn)行上述過程，使變換后的矩陣的非對(duì)角元素的平方和趨于 0，從而使該矩陣近似為對(duì)角矩陣，得到全部特征值和特征向量。 2）在正交相似變換下，矩陣元素的平方和不變。 選取 M為 A 的對(duì)角元素組成的矩陣，即選取 M=D，可得到解 Ax=b 的雅克比迭代法： x(0)(初始向量 ),x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2… ) BJ為求解 Ax=b 的雅克比迭代法的迭代矩陣。 將 A 分裂為 A=MN，其中， M為非奇異矩陣，且要求線性代數(shù)方程組 Mx=d 容易求解，一般選擇為 A的某一部分元素構(gòu)成的矩陣，稱 M為 A的分裂矩陣。 6 第二章 求解線性方程組的基本理論 迭代法 迭代法的基本思想： 是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于迭代的等價(jià)方程組，對(duì)任選一組初始值 （ i=1,2… n），按某種計(jì)算規(guī)則，不斷地對(duì)所得到的值進(jìn)行修正，最
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