【正文】 ＋α=144176。－α，作NF∥AB，由（1）的方法可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。＋α）＝108176。－∠PEM＝180176。－∠DQH＝90176。－α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH＝∠DQE＝90176。＋α=144176。－α；作NF∥AB，類比（1）的方法可得∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。－α；由EM∥CD，AB∥CD，可得AB∥EM，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BPE＝108176。.【解析】【分析】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，即可得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠PEH，∠EQC=∠HEQ,由∠PEQ=∠PEH+∠HEQ即可證得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EM∥CD，設(shè)∠QEM＝α，由平行線的性質(zhì)可得∠DQE＝180176。．點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，AE、BF、DC是直線，B在直線AC上，E在直線DF上，∠1=∠2，∠A=∠F.求證：∠C=∠D．證明：因?yàn)椤?=∠2（已知），∠1=∠3（ ）得∠2=∠3（ ）所以AE//_______( ) 得∠4=∠F（ ）因?yàn)開_________(已知) 得∠4=∠A所以______//_______( )所以∠C=∠D( )【答案】答案見解析【解析】試題分析：由平行線的判定與性質(zhì)證明即可．試題解析：解：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（ 對(duì)頂角相等 ） ，∴∠2=∠3（ 等量代換 ）∴AE//BF （同位角相等，兩直線平行）∴∠4=∠F（兩直線平行，同位角相等 ）∵∠A=∠F （已知） ∴∠4=∠A∴DF//AC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠C=∠D （兩直線平行 ，內(nèi)錯(cuò)角相等）已知AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上,連接PE、EQ.(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，試探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ=72176。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的傳遞性），∴∠FEC=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），即∠3+∠4=∠2，∴∠4=∠2∠3（等式性質(zhì)），∴∠2∠3+∠1=180176?！窘馕觥吭囶}分析：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到∠A=∠1．由平行的傳遞性得到EF // CD，再由平行線的性質(zhì)得到∠2=∠C，由角的和差即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，類似可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的傳遞性），∴∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠AEC=∠1+∠2（圖上可知），∴∠AEC=∠A+∠C（等量代換） ；（2）∠1+∠2∠E=180176。＝39176?！逜B∥GN，EP∥CD，∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，∴∠ABG+∠CDE＝78176。；（3）如圖⑥，過(guò)G，F(xiàn)，E分別作GN∥AB，F(xiàn)H∥AB，EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，∴∠2+∠3＝∠GFE＝64176。；（2）如圖⑤，由如圖③的結(jié)論可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝∠M＝∠N＝25176?！螻＝∠ABN+∠CDN，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48176。；（3）∠M＝39176。．【答案】(問(wèn)題原型)∠BMN；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩直線平行；∠NMD；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(問(wèn)題遷移)∠BMD＝∠D﹣∠B；證明見解析；(推廣應(yīng)用)（1）∠N＝48176?！螮＝64176。；（3）如圖⑥，AB∥CD，∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)M，∠G＝78176。；（2）如圖⑤，AB∥CD，點(diǎn)M與直線CD分別在AB的兩側(cè)，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點(diǎn)N，∠N＝25176。【答案】作圖見解析【解析】【分析】連接AD,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交CD的延長(zhǎng)線于F,連接AF,此時(shí)，進(jìn)而得到，可得，則直線AF為所求直線.【詳解】連接AD,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交CD的延長(zhǎng)線于F,連接AF,此時(shí)，直線AF為所求直線.理由：∵AD∥EF，∴,∴,即,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線間距離，根據(jù)圖形正確作出平行線是解題的關(guān)鍵.（問(wèn)題原型）如圖①，AB∥CD，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，則∠M＝∠B+∠D，小明解決上述問(wèn)題的過(guò)程如下：如圖②，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB則∠B＝_______（_______）∵AB∥CD，（已知）MN∥AB（輔助線的做法）∴MN∥CD（______）∴∠______＝∠D（______）∴∠B+∠D＝∠BMD請(qǐng)完成小明上面的過(guò)程．（問(wèn)題遷移）如圖③，AB∥CD，點(diǎn)M與直線CD分別在AB的兩側(cè)，猜想∠M、∠B、∠D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明．（推廣應(yīng)用）（1）如圖④，AB∥CD，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點(diǎn)N，∠M＝96176。2t）=2t90176?！螧CA=90176。2t，而∠ACD=90176。又∵PQ∥MN，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180176。（180176。=t+20解得t=190,∵190160舍去，綜上所述，當(dāng)t=10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行（3）∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是不發(fā)生變化.設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN=180176?？傻玫健螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系始終是2∠BAC=3∠BCD.【詳解】（1）∵a、b滿足|a3b|+（a+b4）2=0，∴a3b=0，且a+b4=0，∴a=3，b=1；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前，3t=（20+t）1，解得t=10；②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后，在AM之前，3t360+（20+t）1=180176。（180176?！螧CD=90176。（180176。(1) 求a、b的值。/秒，且a、b滿足|a3|+(a+b4)2 = 0。若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a176。﹣α．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用．如圖，已知，的倍比的大，求，的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】過(guò)C作 ，則，設(shè) ， ，依據(jù) ，∠D的2倍比∠B的大，即可得到，的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過(guò)C作 ，則， ， ，設(shè) ，則 解得 ．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于