【正文】 證明：證法一：作差法∵a,b0，∴a+b0,ab0∴證法二：作商法，得證。② 分式放縮如③ 根式放縮如舉一反三：；【變式1】求證：【答案】∴【變式2】 當(dāng)n2時(shí)，求證：logn(n1)logn(n+1)【答案】∵n2，∴l(xiāng)ogn(n1)0，logn(n+1)0∴∴n2時(shí)，logn(n1)logn(n+1)類(lèi)型六：其他證明不等式的方法已知a2，b2，求證：a+b當(dāng)a2時(shí)，f(a)∴a+b總結(jié)升華：不等式證明方法很靈活。證明：假設(shè)原結(jié)論不成立，即，則三式相乘有：??①又∵0總結(jié)升華：反證法的基本思路是：“假設(shè)——矛盾——肯定”，采用反證法證明不等式時(shí)，從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過(guò)程中，每一步推理都必須是正確的。舉一反三：【變式1】求證：a3+b3a2b+ab2(a，b均為正數(shù)，且a≠b)【答案】要證a3+b3a2b+ab2，即證(a+b)(a2+b2ab)≥ab(a+b)∵a，b∈，∴a+b0 只需證a2+b2ab≥ab，只需證a2+b2≥2ab 只需證(ab)2≥0，∵(ab)2≥0顯然成立 所以原不等式成立。lg11b0，求證：.思路點(diǎn)撥：不等號(hào)左邊是一個(gè)各項(xiàng)皆正的“和的形式”，但左側(cè)是兩項(xiàng)而右側(cè)都出現(xiàn)了特征數(shù)“3”.：，∵ ab0, ∴ab0, b0, ，∴ ，∴舉一反三：（當(dāng)且僅當(dāng)，即a=2，b=1的等號(hào)成立）【變式】x, y,z∈R+, 求證：證明：∵ x, y,z∈R+,∴ ，同理，∴ ，∴，a22ac+c2已知a,b0，且2ca+b，求證：證明：要證只需證：即證：∵a0，只需證a+b∵已知上式成立，∴原不等式成立。舉一反三：【變式1】證明下列不等式：(1)a2+b2+2≥2(a+b)(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)(3)a2+b2≥ab+a+b1【答案】（1）（a2+b2+2）2(a+b)=(a22a+1)+(b22b+1)=(a1)2+(b1)2≥0∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）證法同（1）（3）2（a2+b2）2（ab+a+b1)=(a22ab+b2)+(a22a+1)+(b22b+1)=(ab)2+(a1)2+(b1)2≥0∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b1)，即a2+b2≥ab+a+b1【變式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求證：ax2+by2≥(ax+by)2【答案】ax2+by2(ax+by)2=ax2+by2a2x2b2y22abxy =a(1a)x2+b(1b)y22abxy=abx2+aby22abxy =ab(xy)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2用作商比較法證明下列不等式：(a，b均為正實(shí)數(shù)，且a≠b)，且a，b，c互不相等）（1）（2）（a，b，c∈證明：（1）∵a3+b30, a2b+ab20.∴，∵a, b為不等正數(shù)，∴∴，∴（2）證明：不妨設(shè)abc，則∴所以，總結(jié)升華：當(dāng)不等號(hào)兩邊均是正數(shù)乘積或指數(shù)式時(shí)，常用這種方法，:判定式子的符號(hào)并作商變形 判定商式大于1或等于1或小于1 結(jié)論。注反證法的邏輯程序是：否定結(jié)論→推出矛盾→肯定結(jié)論。例5212設(shè)f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，證明：(2)若|p|+|q|＜1，則f(x)=0的兩個(gè)根的絕對(duì)值都小于1。解左邊不等式等價(jià)于3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)欲證此不等式成立，只須證 ab+bc+ca≤a2+b2+c2 即證2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)≥0 左邊配方即為(ab)2+(bc)2+(ca)2≥0此不等式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，即三角形為正三角形時(shí)取等號(hào)。|β|＜22=4 再證2|p|＞4+q。[法四]由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的變式三式分邊相加，得所以注從證法4我們看到，利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，式不等式，思路自然，簡(jiǎn)捷明快，頗具特色。分析本例有多種精彩證法。當(dāng)n≥2時(shí)，由冪分拆不等式，可得以下n1個(gè)不等式： t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，?，tn1+1≥tn2+t，tn+1≥tn1+t以上各式當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)。因a＞0，b＞0，c＞0，故有三式分邊相加，得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。第四篇：2014年高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)：不等式證明的基本方法若a0時(shí)，則|x||x|a xa。2A、B、C為DABC的內(nèi)角，x、y、z為任意實(shí)數(shù)，求證：x2+y2+z2179。42a、b、c206。肯定”，采用反證法時(shí)，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過(guò)程中，每一步推理必須是正確的。R，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥六、利用“1”的代換型2225． 2111已知a,b,c206。22x+y=1，求證：2163。3。已知a、b、c為正數(shù)，求證：2(a+ba+b+c3ab)163。.a248。1247。232。)且x+y=1，證：。R，求證:a2+b+2b2+c+2c2+a179。a、b、c206。2222關(guān)根式不等式的問(wèn)題。a2+b2a+b注意a+b179。41=179。232。p246。2ab,\ab163。0,b0,a+b=1,所以ab179。 要證，ab4222 只要證4(ab)+4a+b25ab+4179。 \ b1c1a1a+b+c33 =a+b+c3+a+b+c3 179。, 把上面三個(gè)式子相加得(1a)b+(1b)c+(1c)a163。1, \得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個(gè)未知量,其實(shí)只需要簡(jiǎn)單的幾個(gè)步驟就解決了,因此在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí),第一步是替換未知量,第二部把另一個(gè)未知量看成已知量,再 【例1】 設(shè)0a,b,c1,求證:(1a)b,(1b)c,(1c)a,:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來(lái)證明,假設(shè)命題不成立,從而導(dǎo)出矛:假設(shè)(1a)b,(1b)c,(1c)a三個(gè)數(shù)都大于, 則有(1a)b111,(1b)c,(1c)a 444 又Q0a1,0b1,0c1\111(1a)b,(1b)c,(1c)a.222 7江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）\(1a)b+(1b)c+(1c)a ?2a+b1a+bab163。234。7249。,即234。7y206。222江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）分析:實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根、有兩個(gè)相等實(shí)根、沒(méi)有實(shí)根的充要條件是: b 記d4ac0、b24ac=0、b24ac0．=b24ac,函數(shù)、,=5xyx+y+z=9中證:有條件可得,代入 化簡(jiǎn)可得:x Q2+(y5)x+y25y+8=0x206。 【例1】 已知x+y+z=5,x+y+z=9,求證x,y,z都屬于234。2時(shí),f(n)的值隨著n的增大而增n+1 大,\f(n)179。aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無(wú)法解決的問(wèn)題時(shí)可以采用作商法來(lái)證明不等式,使用作商法的前提條件是不等式兩邊均要大于0,2n1an(n206。)b\f(a)f(b)故blnaalnbblnbblnb=0ba 即blnaalnb \ab.【啟迪】:在證明簡(jiǎn)單不等式時(shí),可以采用求導(dǎo)等變換來(lái)構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函【例1】 若0x1,證明loga(1x)loga(1+x),(a0,a185。,得bc179。=4(b+c)4[(bc)+4d]179。R,且滿(mǎn)足(a+b+c)求證:ab+bc+ca2179。3.\2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2+y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換,y進(jìn)行替換,【例4】 若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿(mǎn)足不等式xf162。r 22232121 而r163。q ∴xxy+y=rrsin2q=r(1sin2q)江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）Q163。 其中1163。xxy+y163。(x)在x206。(x)=22ln(1+x)22+2=[ln(1+x)x]，1+x1+x1+x 當(dāng)x206。(0,1)時(shí),證明:(1+x)ln(1+x):本題是一個(gè)單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,:做函數(shù)f(x)=(1+x)ln(1+x)x,易得f(0)=0，221+x)2x,當(dāng)x=0時(shí),f39。ln(x+1)163。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0, 1江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）因此,當(dāng)x1時(shí)f(x)163。(1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x0時(shí),f162。0 x+1 ∴ ln(x+1)179。(0,+165。(0,+165。(x)= =x+1x+1(x+1)2(x+1)2 當(dāng)x206。7 6 5 5 4 作差比較法 1 移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 導(dǎo)數(shù)ABSTRACTThis paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and inequality proof methods varied, including parison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other mon methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so words:The inequality proof。=n(xa)；n（Ⅱ）設(shè)fn(x)=xn－(xa)，對(duì)任意n≥a，證明f ’n+1(n+1)＞（n+1）f ’n（n）。從而把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題。直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來(lái)證明不等式成立。1) 4aaD．a(chǎn)6a8（）D．bn≤（）1．已知無(wú)窮數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有aaA．＜a6a8aaB．a(chǎn)6a8aaC．＞a6a82．設(shè){an}是由正數(shù)構(gòu)成的