【正文】 f(b)f(a)163。(x)的上、下界：m163。()dt179。ak+knGn1ajAn111示An(a,q),Gn表示Gn(a,q)，則1=229。an，于是必存在某個k,1163。0，i=1,2,L,證明：不妨設0163。(x)，可使問題簡化，常將積分上限b換成變量x，、積分方法：，除了通常的黎曼積分、勒貝格積分外，不等式：An=242。An.=，所以163。=Gn，其中ai,bi179。、拋物線(二次方程)技巧：某些代數(shù)式配方后，化為f(x)=ax2+bx+c的形式，若a0，則D=b4ac163。238。0239。0，i=1,2,L,236。E,x1x2,f(x1)163。1)；x2y2已知2+2=1，可設x=acosq,y=bsinq；abx2y2已知22=1，可設x=asecq,y=btanq；ab六、數(shù)學歸納法法：與自然數(shù)n有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學歸納法證明，：第一，：設P(n)是與n有關(guān)的命題，則(1)、設P(n0)成立，且對于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有大于n0的n都成立.(2)、設m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1163。通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，下面將介紹一些重要的不等式。G(x,y，L,z)(其中不等號也可以為＞，179。一般地，用純粹的大于號、小于號“＞”“＜”連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號(大于或等于號)、不大于號(小于或等于號)“179。根據(jù)解析式的分類也可對不等式分類，不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式的不等式，稱為代數(shù)不等式；也分一次或多次不等式。在一個式子中的數(shù)的關(guān)系,不全是等號,含sinx163。AniBi179。0，B179。R，所以D=442(13y)179。2248。+231。2525230。.232。a+b246。=a+b+4=233。252.證法五：(放縮法)∵a+b=1∴左邊＝(a+2)+(b+2)233。所以(a)0，這與231。a+(1a)+4+8179。237。a+b+4(a+b)+8179。R,a+b=1\b=1a\(a+2)+(b+2)252=a+b+4(a+b)12=2(a12)179。k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，則P(n)對所有n成立.(5)、(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的非空子集中必有一個最小數(shù).(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對所有n成立.(7)、(無窮遞降法)若P(n)對某個n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設有兩個命題P(n),Q(n)，若P(1)成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k為任給自然數(shù)，則P(n),Q(n)對所有n都成立，若能注意運用變形和放縮等技巧，,n有關(guān)，可考慮用二重數(shù)學歸納法，即若要證命題P(m,n)對所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對所有m,n成立；②設P(m+1,n),P(m,n+1)成立，證明P(m+1,n+1)，數(shù)學歸納法與其它方法的綜合運用，例如，證明n229。r163。1時,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當y=1時,方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)為了證明不等式的需要,有時需舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,[5]設a,b為不相等的兩個正數(shù),且a3b3=a+b.證： 由題設得a3b3=a2b2222。188。188。180。352n+142n12342n12n由于,188。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。 證： 設A=180。同理有0(1b)b≤,0(1c)c≤.即（1a)b(1b)c(1c)a≤② 641414第9頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)①與②產(chǎn)生矛盾,從而原命題成立.（3）構(gòu)造法在證明不等式時,有時通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對偶式等, 求證180。231。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=rcosq,y=rsinq則 | x2+2xyy2|=|r2(cos2q+2sinqcosqsin2q| =r2|cos2q+sin2q| = r2|2sin(2q+450)|≤1180。,所以,且當 163。165。1, 這時 1121,1,179。2bc,a0,\a(b2+c2)179。44a+1+294=2a+13 注意到對稱有：94(a+b+c+d)+1317(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)163。99, 又a+b+c=1得 163。a2+b2+c2ab+bc+ca。+1≤na1a2188。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關(guān)的問題,=K時成立,需證n=K+1時也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當n=2時,左邊=左邊右邊.(2)假設n=K時, 1111+11+?+K成立,則當n=K+1時, 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。R時，即 1+2x4179。方法； 應用不等式在數(shù)學中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點試題,證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學中有關(guān)不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項式定理、數(shù)列求和等等。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時，xnyn和xn1yn1不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。2平方添項運用此法必須注意原不等號的方向例14 ：對于一切大于1的自然數(shù)n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均