【正文】 “都”,“同時(shí)”,“至多”等字樣時(shí),可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,a2b2c2++179。,(1c)a163。(1a)b163。234。1, 同理,替換x,y可得z206。233。233。3235。y163。1,(y5)4(y5y+8)179。7249。R,且方程有解,\根的判別式d=b24ac179。31,7249。f(2), 111136163。2時(shí),sn=12江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）化簡,得(2n+1)sn=2+(2n1)sn1由已知條件得xn 其通項(xiàng)公式為xn \{xn}是以首項(xiàng)為x1=xn1+2,即xnxn1=2=2公差d=2的等差數(shù)列，=+++..........+(2)2222 xnxnxx+1n+22n11111++......+] =[2+222 4n(n+1)(n+2)(2n)11111+++......+] [4n(n1)n(n+1)(n+1)(n+2)(2n1)(2n)1111111=[()+()+()+......4n1nnn+1n+1n+2111111n+1+()]=()=()2n12n4n12n42n(n1)1n+1 = 42(n+1)26(n+1)+411= 442(n+1)6+n+14 令f(n)=2(n+1)+,當(dāng)n179。N)【例1】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn=12(1)設(shè)xn=(2n+1)sn,求證:數(shù)列{xn}+++..........+(2)當(dāng)n179。:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,:Qab0,(ab)aba+b20,\將不等式兩邊相除，ba2baa=()2 baabb 得(ab)a+b2=aab2bbaa2==b時(shí),()baab10, 當(dāng)0ba時(shí)，b2baaa02()()=,bbbaaa0aab2()()=1.10 當(dāng)0ab時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a+b2163。1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a1和0a1兩種情況來考慮:(1)當(dāng)0a1時(shí),Q01x1,11+x2\loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)+loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x1\loga(1x)0,得證.（2）當(dāng)a1時(shí),Q01x1,11+x2\ loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x122222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）\loga(1x)0,（1）（2）可得loga(1x)loga(1+x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,【例2】 設(shè)a,b206。(x)0 xf(x)在(e,+165?！締⒌稀?有些復(fù)雜的不等式可以看成一個(gè)未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€(gè)未知量之間的關(guān)系,【例6】 當(dāng)abe時(shí),證明a:要證ab,只要證lnababablnba,即證明blnaalnb0, 也就是要證明blnxxlnb,因此構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnxxlnb,然后只需要證明 證:要證ab,只要證lnabaf(x) xblnba即證blnaalnb0設(shè)f(x)=blnxxlnb(xbe),則f162。d疊加可得ab+bc+ca179。0\其判別式 Q江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）,c看成未知量,可得ca179。022xaf(x)=x+2(b+c)x+(bc)+4d用替換,構(gòu)造一個(gè)函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上且當(dāng)x=a時(shí),f(a)163。2(a2+b2+c2)+4d，179。(x)0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)f(b)\af(a)bf(b)Q0ab,\ 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出F(x),【例5】 設(shè)a,b,c,d206。(x)f(x)恒成立,且常數(shù)a ,b滿足0ab,求證:af(a)xf(x)，162。xxy+y163。3,r179。(1sin2q)r163。1sin2q163。2,0163。2x2+y2163。2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x+ 換元法進(jìn)行嘗試,:因?yàn)?1163。163。(0)=0,即f(x)在(0,1)遞減∴f(x)f(0)=0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個(gè)關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,122163。(0,1)上遞減,即f39。(x)0∴f39。(0,1)時(shí),f39。39。(x)=0而f39。f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 【例2】 當(dāng)x206。x x+1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)179。x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x1時(shí),有11163。f(0)=0,即ln(x+1)x163。)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(1,+165。(x)0,即f(x)在x206。(x)0,即f(x)在x206。1 再證右邊,f162。g(0)=0,即ln(x+1)+11179。)上為增函數(shù),故函數(shù)g(x)在(1,+165。(1,0)上為減函數(shù),在x206。)時(shí),g162。當(dāng)x206。(1,0)時(shí),g162。+1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)11,(x)=ln(x+1)+x+1證:先證左邊,令g(x)=ln(x+1)+111x1, 則g162。11江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）眾所周知,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),有必要對不等式的證明方法做一個(gè)全面的,科學(xué)的,【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x,求證：當(dāng)x1時(shí),恒有11163。9 參考文獻(xiàn) 8 4 3 構(gòu)造形似函數(shù) 3 主元法構(gòu)造函數(shù) 2 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)1 作差法構(gòu)造函數(shù)derivative目 錄 function。極值。例已知函數(shù)f(x)三、利用導(dǎo)數(shù)解不等式 例8：函數(shù)ax(a0),解不等式f(x)≤1第二篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文中學(xué)證明不等式的常用方法所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓 名： 張俊學(xué) 號： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東完成日期： 2014年04月15日）摘 要,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,: 不等式的證明。R),對f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍xnn1例已知a＞0，n為正整數(shù)，（Ⅰ）設(shè)y=(xa)，證明y162。例求證：n∈N*,n≥3時(shí)，2n 2n+1 例gx2+(b1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a(x)=(1)Aax若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最小）值時(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立。x2例1：x0時(shí),求證；x－ln(1+x)＜0把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。b＜n+1nnn+2n+119．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0，1)，an＝3－an1n＝2，3，4，….2（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝a3－2an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)． 20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝3bn＋4n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，… 2bn＋321．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f162。2)②ane2(n179。n2①證明: an【專題訓(xùn)練】179。247。1a+(n179。1+232。10k=1Sk+Tkn前k項(xiàng)積,求證例6(1)證明: ln(1+x)x(x0)(2)數(shù)列{an}=1,且an=230。2i=11+ai,Sk為數(shù)列{}的前k項(xiàng)和, Tk為數(shù)列{}的1+bnn(2)數(shù)列{bn}滿足: b1=1,bn+1=f(bn)(n206。1對任意的n206。N)4f(x)=x2+x.(1)數(shù)列{an}滿足: a10,an+1=f162。N)(3)求證: P2+P3+?+Pn6n5(n179。(2)求證: 3Pn+1+Pn例5 已知函數(shù)=1(n179。(165。163。四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.【例6】 等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)n取何值時(shí)，f(n)有最大值．題型四 求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】 已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使【點(diǎn)評】在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個(gè)陷阱.【例8】(08全國Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【點(diǎn)評】 一般地，如果求條件與前n項(xiàng)和相