【正文】 2 xnxnxx+1n+22n11111++......+] =[2+222 4n(n+1)(n+2)(2n)11111+++......+] [4n(n1)n(n+1)(n+1)(n+2)(2n1)(2n)1111111=[()+()+()+......4n1nnn+1n+1n+2111111n+1+()]=()=()2n12n4n12n42n(n1)1n+1 = 42(n+1)26(n+1)+411= 442(n+1)6+n+14 令f(n)=2(n+1)+,當(dāng)n179。N)【例1】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn=12(1)設(shè)xn=(2n+1)sn,求證:數(shù)列{xn}+++..........+(2)當(dāng)n179。:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,:Qab0,(ab)aba+b20,\將不等式兩邊相除，ba2baa=()2 baabb 得(ab)a+b2=aab2bbaa2==b時(shí),()baab10, 當(dāng)0ba時(shí)，b2baaa02()()=,bbbaaa0aab2()()=1.10 當(dāng)0ab時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a+b2163。1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a1和0a1兩種情況來考慮:(1)當(dāng)0a1時(shí),Q01x1,11+x2\loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)+loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x1\loga(1x)0,得證.（2）當(dāng)a1時(shí),Q01x1,11+x2\ loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x122222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）\loga(1x)0,（1）（2）可得loga(1x)loga(1+x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,【例2】 設(shè)a,b206。(x)0 xf(x)在(e,+165?！締⒌稀?有些復(fù)雜的不等式可以看成一個(gè)未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€(gè)未知量之間的關(guān)系,【例6】 當(dāng)abe時(shí),證明a:要證ab,只要證lnababablnba,即證明blnaalnb0, 也就是要證明blnxxlnb,因此構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnxxlnb,然后只需要證明 證:要證ab,只要證lnabaf(x) xblnba即證blnaalnb0設(shè)f(x)=blnxxlnb(xbe),則f162。d疊加可得ab+bc+ca179。0\其判別式 Q江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）,c看成未知量,可得ca179。022xaf(x)=x+2(b+c)x+(bc)+4d用替換,構(gòu)造一個(gè)函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上且當(dāng)x=a時(shí),f(a)163。2(a2+b2+c2)+4d，179。(x)0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)f(b)\af(a)bf(b)Q0ab,\ 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出F(x),【例5】 設(shè)a,b,c,d206。(x)f(x)恒成立,且常數(shù)a ,b滿足0ab,求證:af(a)xf(x)，162。xxy+y163。3,r179。(1sin2q)r163。1sin2q163。2,0163。2x2+y2163。2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x+ 換元法進(jìn)行嘗試,:因?yàn)?1163。163。(0)=0,即f(x)在(0,1)遞減∴f(x)f(0)=0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個(gè)關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,122163。(0,1)上遞減,即f39。(x)0∴f39。(0,1)時(shí),f39。39。(x)=0而f39。f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 【例2】 當(dāng)x206。x x+1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)179。x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x1時(shí),有11163。f(0)=0,即ln(x+1)x163。)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(1,+165。(x)0,即f(x)在x206。(x)0,即f(x)在x206。1 再證右邊,f162。g(0)=0,即ln(x+1)+11179。)上為增函數(shù),故函數(shù)g(x)在(1,+165。(1,0)上為減函數(shù),在x206。)時(shí),g162。當(dāng)x206。(1,0)時(shí),g162。+1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)11,(x)=ln(x+1)+x+1證:先證左邊,令g(x)=ln(x+1)+111x1, 則g162。11江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）眾所周知,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),有必要對不等式的證明方法做一個(gè)全面的,科學(xué)的,【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x,求證：當(dāng)x1時(shí),恒有11163。9 參考文獻(xiàn) 8 4 3 構(gòu)造形似函數(shù) 3 主元法構(gòu)造函數(shù) 2 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)1 作差法構(gòu)造函數(shù)derivative目 錄 function。極值。第三篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文中學(xué)證明不等式的常用方法所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓 名： 張俊學(xué) 號： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東完成日期： 2014年04月15日）摘 要,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,: 不等式的證明。222。c21179。≥1222。c2≥0 1222。(x2+cc)(1x+cx2+c+x2+c1 c1≥0)≥0 222。b+≤1 22a+b1+≤1 241219。a+219。b+≤4 22219。p(p1)≤0219。(＜x＜a+b2)≥1+a+b,將a+p,設(shè)a=2xsinx,b=cos2x,則下式正確的是()2≥=＜＞b 答案：D解析：ab=2xsinxcos2xx2px2x2p2=sinxxsinx+1=(sinx)+1,因?yàn)?＜x＜,所以0＜＜＜＞,b,c為△ABC的3條邊，且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,則()≥＜S＜＞≤S＜2P 答案：D解析：2(SP)=2a2+2b2+2c22ab2bc2a