【正文】 ∵a0,b0,∴a+b0，∴得證。令（x≥0).∵f(x)在x∈[0,+∞)上是遞減函數(shù)，∴f(a1)三角換元法：求證： [0,π]，證明：∵1≤x≤1，∴令x=cos, 則∵1≤sin≤1，若x2+y2≤1，求證：證明：設(shè)則1若x1，y1，求證：證明：設(shè)則1已知：a1,b0，ab=1，求證：證明：∵a1,b0,ab=1，∴不妨設(shè)則總結(jié)升華：①若0≤x≤1，則可令②若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ③若x2y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ④若x≥1，則可令，若xR，則可令舉一反三：【變式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd【答案】∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)∵y2=c2+d2，∴不妨設(shè)∴∴xy≥ac+bd【變式2】已知x0，y0，2x+y=1，求證：【答案】由x0,y0，2x+y=1，可設(shè)則類型六：一題多證1若a0，b0，求證：思路點(diǎn)撥：由于a0，b0，所以求證的不等式兩邊的值都大于零，本題用作差法，作商法和綜合法，分析法給出證明。分析不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，使問題變得非常簡單。證明：記∵a,b,c,dR+，∴∴1總結(jié)升華：證后半部分，還可用“糖水公式”，即常用的放縮技巧主要有：① f(x)為增函數(shù)，則f(x1)進(jìn)行放縮。由于本題題目的結(jié)論是：三個(gè)數(shù)中“至少有一個(gè)不大于”，情況比較復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)多個(gè)由異向不等式組”，結(jié)構(gòu)簡單明了，成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對結(jié)論的否定是三個(gè)數(shù)“都大于為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。思路點(diǎn)撥：此題目若直接證，從何處入手？對于這樣正面情況較為復(fù)雜的問題，可以考慮使用反證法。【變式2】a , b, m∈R+，且a【答案】∵ b0且b+m0，.∴，∴成立∴.【變式3】求證：【答案】要證只需證，而，只需證，只需證，顯然成立，所以原不等式得證。3．基本思路：執(zhí)果索因：要證??，只需證??，只需證??，因?yàn)??成立，所以原不等式得證?？偨Y(jié)升華：1．分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析使之成立的條件，把證不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的問題，若能肯定這些條件都成立，就可斷定原不等式成立。lg11∵lg90, lg110，∴∴ , ∴l(xiāng)g9舉一反三：【變式1】已知a2，b2，求證：a+b2，b2∴∴∴【變式2】已知a，b均為正實(shí)數(shù)，求證：aabb≥abba【答案】∵a0, b0, ∴ aabb與abba均為正，∴，分類討論可知（分ab0, a=b0, 0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立，∴ aabb≥：綜合法證明不等式a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc 證明：法一：由b2+c2≥2bc, a0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc∵a,b,c不全相等，∴上述三個(gè)等號不同時(shí)成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)：∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均為正數(shù)，由三個(gè)數(shù)的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)∴：綜合法是由因?qū)Ч?，從已知出發(fā)，根據(jù)已有的定義、定理，逐步推出欲證的不等式成立。證明：（1）當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號成立，（2）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號）.∵a0, b0, a≠b，∴a+b0,(ab)20，∴∴.，總結(jié)升華：作差，變形（分解因式、配方等），判斷差的符號，這是作差比較法證明不等式的常用方法。反證法常用于直接證明難于入手的命題，或結(jié)論中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之類的存在性命題。|x2|≥|x2| 兩式分邊相加，得 |p|+|q|≥1這與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即原命題得證。解用反證法但是，|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)2f(2)+f(3)=(1+p+q)2(4+2p+q)+(9+3p+q)=2(ii)(i)與(ii)矛盾，故假設(shè)不成立，即原命題成立。綜上所述，原不等式得證。故左邊不等式獲證。例5211證明：若a，b，c是三角形的三邊，則 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，左邊取等號。欲證不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ。解先證|q|＜4，由韋達(dá)定理知 |q|=|αβ|=|α|例5210已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β。[法二]從兩入手，利用冪分拆不等式，有同理有三式分邊相加，得[法三]從整理入手，原不等式等價(jià)于進(jìn)一步證明參考習(xí)題527(1)解答。根據(jù)對稱性，可從左邊一項(xiàng)、兩項(xiàng)入手，當(dāng)然也可根據(jù)平均值不等式或冪分拆不等式從整體入手。1注①在以上不等中令t=1+x(x＞1)，即得著名的貝努利不等式(1+x)n≥1+nx例529設(shè)a，b，c都是正數(shù)，證明不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號。把它們分邊相加，得故對任意n∈N，不等式獲證。解當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立，且取等號。例528設(shè)t＞0。解用綜合法。例題 有答案2014年高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)：不等式證明的基本方法b|≤|a|+|b|。注:這里利用實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x)到原點(diǎn)的距離。2．最簡單的含絕對值符號的不等式的解。2yzcosA+2xzcosB+2xycosC。N，求證：*2(n+11)1+12+13+L+1n2n1。R，a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求證：a、b、c均為正數(shù)。已知a,b,c∈（0，1），求證：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同時(shí)大于1。1若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求證：p＋q≤2．證明：反證法 3311已知a、b、c206。矛盾174。R+,且 a+b+c=1,求證： ++179。.abbcac122221已知1≤x＋y≤2，求證：≤x－xy＋y≤3．21已知abc,求證：1已知x－2xy＋y≤2，求證：| x＋y |≤10．1解不等式5x221x+1＞221－1≤1x－x≤2．五、增量代換法在對稱式(任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡．1已知a，b206。x+y163。1。四、換元法換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。)且a+b+c=1，求證a+b+c163。3(abc)23a、b、c206。9三、分析法分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。232。179。231。1246。1246。1++230。已知a,b206。(0,+165。2(a+b+c)211(1+)(1+)179。4413設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，求證：a+b+cabc(a+b+c)知a,b,c206。(0,+165。++ 2a2b2ca+bb+cc+a二、綜合法綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運(yùn)用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。一、比較法比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。R+)來解決有179。2ab的變式應(yīng)用。.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進(jìn)行一步步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)的知識(shí),一般過渡的結(jié)論很,不同的是它把問題直接改變?yōu)橐坏肋\(yùn)算式,這樣就把問題變?yōu)檫\(yùn)算式結(jié)果與零比較大小,因?yàn)轭}目所給的數(shù)字往往讓在解題時(shí)無從下手,無法想出這個(gè)數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化為零后,解題時(shí)只需要考慮對算式的變形,它一般具有特殊的條件如a+b=1, a2+b2=1這種情況下會(huì)考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時(shí)往往忘記角的范圍,從而無法確定三角函數(shù)值的范圍,值的范圍,可采用,使中學(xué)生在證明不等式時(shí)有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,（論文）參考文獻(xiàn)[1][A],2002(1):54～55 [2][J],2009:55～57 [3][A],2014(1):220～221 [4],1995(3):31～33 [5],1999(4):101～103 [6][A],2013(7):7～8 [7],2013(2):88～90 [8][A],2012(2):64 [9][J],2012:72～73 [10][J],2012(8):28～30 [11][A],2012:60～61 [12][J],2012:81～82 [13][J],2012:13～15 [14][J],2012:92 [15][A],2012(4):108～109第三篇：不等式的證明方法經(jīng)典例題不等式的證明方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，證明方法多種多樣，近幾年高考出現(xiàn)較為形式較為活躍，證明中經(jīng)常需與函數(shù)、數(shù)列的知識(shí)綜合應(yīng)用，靈活的掌握運(yùn)用各種方法是學(xué)好這部分知識(shí)的一個(gè)前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。.\(4sin2a)+16179。1\4sin2a179。2248。0,247。 故設(shè)a=sina,b=cosa,a206。.ab4解法三:三角代換法Qa+b=1,a0,b0江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）230。41125a2+1b2+125= \(a+)(b+)ab4ab44a2b2+33ab+8(14ab)(8ab)=179。2ab,:作差比較法Qa+b=1,a0,b0 \a+b179。163?；騛b179。0，() 即證4(ab)233(ab)+8179。ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨(dú)立完成,可得到如下解決:分析法1125(a+)(b+)179。23江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）Qa1,b1,c++179。b1c1a1a2b2c2a+b+c++179。3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.\(1a)b,(1b)c,(1c)a,【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,