【正文】 4f(b)f(a)(abc)(ba)2參 考 文 獻(xiàn)《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，1990.[1]鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)棟編，[2]趙煥光，林長(zhǎng)勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，四川大學(xué)出版社，2006。39。39。(x)179。(x)f(h),(ba)224當(dāng)f39。(h)(ba)2相減，得f(b)f(a)=,244f(b)f(a)1(ba)2即=f39。(x)f39。(h)(ba)2abf()=f(b)+(ah),22!42f39。(x)(ba)2abf()=f(a)+(ax),22!42a+bf39。(h)f(x)=f(b)+(xb)2,于是2!a+bf39。(x)(xa)22!f39。(b)=0，得f(x)=f(a)+f39。2(ba)證明：由f(x)在x=a和x=b處的泰勒公式，并利用f39。(c)179。(b)=0，則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f39。(x)，（2）f39。(x)滿足：（1）在區(qū)間[a,b]上有二階導(dǎo)函數(shù)f39。f(0)+1!2!n!帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的實(shí)質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個(gè)定量估計(jì)式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。(0)2fn(0)n(x)+(x)+L(x)。(0)f39。(0)2fn(0)nf(x)179。(0)f39。0(或163。39。(x0)fn(x0)2(xx0)+(xx0)+L(xx0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+1!2!n!在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止絝39。(x0)f39。1。1163。由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x=1和2111p1)=p1,f(0)=f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x=0和x=1)的函數(shù)值為f()=)p+(1所以22221f(x)在[0,1]的最小值為p1，最大值為1，從而對(duì)于[0,1]中的任意x有211163。(x)=0，可得xp1=(1x)p1，于是有x=1x，從而求得x=1。1)則有f39。1 2證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=xp+(1x)p(0163。1，則對(duì)于[0,1]中的任意x有p1163。0），亦即等價(jià)于函數(shù)G(x)=g(x)f(x)有最小值或F(x)=f(x)g(有最大值。 g(x)f(x)179。g(x)(或f(x)179。(x)=ex+2x0于是得f(x)在x0上遞增故對(duì)x0有f(x)f(0)\f(x)0而(1+x)ex0所以F39。(x)證明：令F(x)=ln(1+x)xex（x0）顯然F(0)=01ex+x21xx（x0）F39。g使在(x)[a,b]上F39。(x)0則f(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞減。(x)0則f(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增。1+h1+qh1h+h1+qh2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時(shí)用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)。(0,1)使得ln(1+h)=f(h)f(0)=f39。 即ln(x1+x\ln(1+x)ln(x)例 ：h1且h185。(x,1+x)使得f39。ba11(x0)(1+)x1+x證明第一步變形1 ln(1+)=ln(1+x)ln(x)x第二步選取合適的函數(shù)和范圍令f(x)=lntt206。(a+qh)h,0q1我們可以q的范圍來(lái)證明不等式。（2）我們可根據(jù)其兩種等價(jià)表述方式①f(b)f(a)=f39。第三，利用拉格朗日中值定理。（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。(a,b)，使得f39。2 22xxx第五篇：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式常澤武指導(dǎo)教師：任天勝（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅張掖 734000）摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)證明不等式。y163。y=163。注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：①x(1x)2=11242x(1x)(1x)163。237。g(x)163。g(x)f(x)g(x)238。236。f(x)g(x)238。237。f(x)0239。f(x)g(x)238。g(x)0。logaf(x)logag(x)(a1)219。f(x)lgalgb（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式236。af(x)ag(x)(0a1)219。f(x)[g(x)]（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式af(x)ag(x)(a1)219。02239。237。0239。f(x)[g(x)]236。239。237。g(x)179。0○3f(x)g(x)219。0239?！?236。f(x)179。f(x)g(x)238。254。222。g(x)179。g(x)185。237。0 f(x)179。g(x)236。.22則稱f(x)為凸（或凹）比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），① 一元一次不等式axb解的討論；2②一元二次不等式ax+bx+c0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f(x)0219。x2),有 f(x1+x2f(x1)+f(x2))163。則（a1b1+a2b2+a3b3+L+anbn)163。R,b1,b2,b3L,bn206。2)nn+1n(n+1)nn(n1)n1n=pp=n179。冪平均不等式：a12+a221(a1+a2+...+an)2 n注：例如：(ac+bd)2163。22+...+an179。R,a=b=c時(shí)取等)33232。247。179。)==ab）2222a2+b2+c2230。|a|+|b|（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么11+aba+b（當(dāng)僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號(hào)）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）： 2222a+ba+ba+ba+b22特別地，ab163。|a177。axa（7）若a、b206。|x|a219。x2a2219。a=b=c時(shí)取等號(hào)）3ba(5)若ab0,則+179。R+,x+y=S,xy=P,則：1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最?。弧?如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.○利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等.(4)若a、b、c206。2|ab|179。R+,則a2+b2179。0,a2179。Z,且n1)（開方法則）（1）若a206。Z,且n1)（平方法則）（12）ab0222。11（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）ab0222。acbd（同向不等式相乘）(9)ab0,0cd222。acbc（7）ab,c0222。a+cb+d（同向不等式相加）（5）ab,cd222。ac（傳遞性）（3）ab222。ab.（2）不等式的分類：絕對(duì)不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.（4）（1）ab219。a=b。ab。第四篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_第六章不等式高中數(shù)學(xué)第六章不等式考試內(nèi)容：不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對(duì)值的不等式． 考試要求：（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式．（4）掌握簡(jiǎn)單不等式的解法．（5）理解不等式│a││b│≤│a+b│≤│a│+│b│167。[鞏固1]4，12；[鞏固2]B，[遷移]B；[鞏固1] 1nln55ln22ln55,[鞏固2]A，[遷移]遞增；[鞏固]有理化，[遷移]放縮：1n(n1),(n179。2)；bc1+c[舉例]已知a、b、c是⊿ABC的三邊長(zhǎng)，A=1+a1+b,B=,則：A．AB,B． Ac1+c=11c+111a+b+1=a+b1+a+b=a1+a+b+b1+a+ba1+a+b1+b=A[鞏固]若n∈N﹡,求證：(n+1)+1(n+1)n+1n[遷移]已知an=2n1,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，bn=對(duì)一切自然數(shù)n，恒有Tn簡(jiǎn)答1Sn,數(shù)列{ bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：1．[鞏固1]B，[鞏固2] ②③④⑥⑦⑨⑩；[遷移] ①③④⑤；[鞏固]A；[鞏固1] ①④，[鞏固2]（1，0]∪[2, +165。k(k1)k11k(k1)=1k11