【正文】 例已知函數(shù)f(x)三、利用導(dǎo)數(shù)解不等式 例8：函數(shù)ax(a0),解不等式f(x)≤1。R),對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍xnn1例已知a＞0，n為正整數(shù)，（Ⅰ）設(shè)y=(xa)，證明y162。例求證：n∈N*,n≥3時(shí)，2n 2n+1 例gx2+(b1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a(x)=(1)Aax若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立。x2例1：x0時(shí),求證；x－ln(1+x)＜0把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。b＜n+1nnn+2n+119．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0，1)，an＝3－an1n＝2，3，4，….2（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝a3－2an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)． 20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝3bn＋4n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，… 2bn＋321．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f162。2)②ane2(n179。n2①證明: an【專題訓(xùn)練】179。247。1a+(n179。1+232。10k=1Sk+Tkn前k項(xiàng)積,求證例6(1)證明: ln(1+x)x(x0)(2)數(shù)列{an}=1,且an=230。2i=11+ai,Sk為數(shù)列{}的前k項(xiàng)和, Tk為數(shù)列{}的1+bnn(2)數(shù)列{bn}滿足: b1=1,bn+1=f(bn)(n206。1對(duì)任意的n206。N)4f(x)=x2+x.(1)數(shù)列{an}滿足: a10,an+1=f162。N)(3)求證: P2+P3+?+Pn6n5(n179。(2)求證: 3Pn+1+Pn例5 已知函數(shù)=1(n179。(165。163。四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.【例6】 等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)n取何值時(shí)，f(n)有最大值．題型四 求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】 已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使【點(diǎn)評(píng)】在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個(gè)陷阱.【例8】(08全國Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【點(diǎn)評(píng)】 一般地，如果求條件與前n項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解題型二 數(shù)列參與的不等式的證明問題此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例3】 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整1數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點(diǎn)評(píng)】 利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】(08f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立219。f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=198。第五篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明的常用方法經(jīng)典例題關(guān)于不等式證明的常用方法(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 典型題例例1證明不等式1+12+13+L+1n2n(n∈N*)知識(shí)依托 本題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等 例2求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a 知識(shí)依托 該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba證法一(分析綜合法）證法二(均值代換法)證法三(比較法）證法四(綜合法)證法五(三角代換法）鞏固練習(xí)已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且ab+=1，x+y的最小值為xy設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________ 已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1求證1(2)a+2+3b+2+c+2≤6312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥證明下列不等式b+c2c+a2a+b2z≥2(xy+yz+zx)x+y+abcy+zz+xx+y111++(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則≥2(++)xyzxyz(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n(1)證明 niAim＜miAin(2)(1+m)n＞(1+n)m若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證 a+b≤2，ab≤1不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用典型題例例1用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)知識(shí)依托本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值例2已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤1(1)|c|≤1；(2)當(dāng)－1 ≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2；(3)設(shè)a＞0，有－1≤x≤1時(shí)，g(x)的最大值為2，求f(x)知識(shí)依托 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，絕對(duì)值不等式例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個(gè)根xx2滿足0＜x1＜x2(1)當(dāng)x∈［0，x1)時(shí)，證明x＜f(x)＜x1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明 x0＜x1鞏固練習(xí)定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號(hào)是()①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)①③B②④C①④②③下列四個(gè)命題中①a+b≥2ab②sin2x+4≥4③設(shè)x，y都是正數(shù)，若則x+y的最小值是12④+=1，2xysinx若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號(hào)是__________已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2(1)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0，求證x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍設(shè)函數(shù)f(x)定