【正文】 關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解題型二 數(shù)列參與的不等式的證明問(wèn)題此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過(guò)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例3】 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整1數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點(diǎn)評(píng)】 利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】(08f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立219。f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=198。第一篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明的常用方法經(jīng)典例題關(guān)于不等式證明的常用方法(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 典型題例例1證明不等式1+12+13+L+1n2n(n∈N*)知識(shí)依托 本題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等 例2求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a 知識(shí)依托 該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來(lái)，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba證法一(分析綜合法）證法二(均值代換法)證法三(比較法）證法四(綜合法)證法五(三角代換法）鞏固練習(xí)已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且ab+=1，x+y的最小值為xy設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________ 已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1求證1(2)a+2+3b+2+c+2≤6312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥證明下列不等式b+c2c+a2a+b2z≥2(xy+yz+zx)x+y+abcy+zz+xx+y111++(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則≥2(++)xyzxyz(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n(1)證明 niAim＜miAin(2)(1+m)n＞(1+n)m若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證 a+b≤2，ab≤1不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用典型題例例1用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)知識(shí)依托本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值例2已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤1(1)|c|≤1；(2)當(dāng)－1 ≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2；(3)設(shè)a＞0，有－1≤x≤1時(shí)，g(x)的最大值為2，求f(x)知識(shí)依托 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，絕對(duì)值不等式例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個(gè)根xx2滿足0＜x1＜x2(1)當(dāng)x∈［0，x1)時(shí)，證明x＜f(x)＜x1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明 x0＜x1鞏固練習(xí)定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號(hào)是()①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)①③B②④C①④②③下列四個(gè)命題中①a+b≥2ab②sin2x+4≥4③設(shè)x，y都是正數(shù)，若則x+y的最小值是12④+=1，2xysinx若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號(hào)是__________已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2(1)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0，求證x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)任意m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f(x)＜1(1)f(0)=1，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1；(2)f(x)在R上單調(diào)遞減；(3)設(shè)集合A={(x，y)|f(x2)求a的取值范圍2x2+bx+c已知函數(shù)f(x)=(b＜0)的值域是［1，3］，2x+1(1)求b、c的值；(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若t∈R，求證 lg711≤F(|t－|－|t+|)≤566數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.【典例分析】題型一 求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問(wèn)題求得數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)x∈D時(shí)，有f(x)≥M恒成立219。f(x)max≤M；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，1【例1】等比數(shù)列{an}的公比q＞1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使a1＋a2＋…＋an＞…恒成立的正整數(shù)n的取a1a2an值范圍.【例2】（08安徽高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c為實(shí)數(shù).(Ⅰ)證明：an∈[0，1]對(duì)任意n∈N*11成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(Ⅱ)設(shè)0＜c＜，證明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）設(shè)0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an2332＞n＋1－n∈N*.1－3c題型三 求數(shù)列中的最大值問(wèn)題求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例5】(08湖北)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1＝λ，an+1＝n＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整3數(shù).（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b,Sn為數(shù)列{bn}，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，例1 把數(shù)列一次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù),按第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù),按第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù),按第四個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)?,循環(huán)分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23)?,:恰當(dāng)?shù)姆纸M, Sk+1－2＞－2{an}是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列, bn=an+1+an+2,=an+an+3,則()S179。點(diǎn)評(píng):此題較易入手,利用作差法即可比較大小, 若對(duì)x206。,1],不等式(mm)2x()x1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍()ABDA.(2,3)B.(3,3)C.(2,2)D.(3,4)例4四棱錐SABCD的所有棱長(zhǎng)均為1米,一只小蟲從S點(diǎn)出發(fā)沿四棱錐的棱爬行,(1)求PP3的值。2,n206。2,n206。(an),若229。N恒成立,試求a1的取值范圍。N),記=Tk7.229。231。1246。2)。n12n1248。7(n179。1) 4aaD．a(chǎn)6a8（）D．bn≤（）1．已知無(wú)窮數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有aaA．＜a6a8aaB．a(chǎn)6a8aaC．＞a6a82．設(shè){an}是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，bn＝an+1＋an+2，＝an＋an+3，則A．bn＞B．bn＜C．bn≥3．已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為正項(xiàng)等比數(shù)列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，則（）A．a(chǎn)6＝b6 A．9 A．S4a5＜S5a4B．a(chǎn)6＞b6 B．8 B．S4a5＞S5a4C．a(chǎn)6＜b6 C．7 C．S4a5＝S5a4 S(n＋32)Sn+11C．D．a(chǎn)6＞b6或a6＜b6（）D．6 D．不確定（）1504．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足５＜ak＜８，則k＝5．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，其前n項(xiàng)的和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是（）6．設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，則函數(shù)f(n)＝A．120B．130D．7．已知y是x的函數(shù)，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)順次成等差數(shù)列，則A．y有最大值1，無(wú)最小值B．y有最小值（）1111C．y有最小值，最大值1D．y有最小值－1，最大值11212（）Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)8．已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是Ａ．(－∞，－1]Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．[3，＋∞)9．設(shè)3b是1－a和1＋a的等比中項(xiàng)，則a＋3b的最大值為()A．1（）A．充分不必要條件 11．{an}為等差數(shù)列，若A．11B．必要不充分條件C．充分比要條件D．既不充分又不必要條件（）B．2C．3D．410．設(shè)等比數(shù)列{an}的首相為a1，公比為q，則“a1＜0，且0＜q＜1”是“對(duì)于任