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2025-06-22 03:10 本頁面
【正文】 (x)＝，∵x＞0， ∴g 39。 數(shù)列滿足, .求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時,.解: (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,. （1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立。那么當(dāng)時，上式表明當(dāng)時，③ 式也成立。解：（I）顯然，由可得，即，也即，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而有，即。 , 。：. 解析:先構(gòu)造函數(shù)有,從而所以 : 解析: 3. ：.:解析:一方面:(法二) 另一方面: :(1) 解析:構(gòu)造函數(shù),得到,再進(jìn)行裂項,求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式: ,:解析:提示:函數(shù)構(gòu)造形式: 當(dāng)然本題的證明還可以運用積分放縮如圖,取函數(shù),首先:,從而,取有,所以有,…,相加后可以得到: 另一方面,從而有取有,所以有,所以綜上有::構(gòu)造函數(shù)后即可證明: 解析:,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式:(加強命題): 解析:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以，為其前項和，對于任意，總有成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為 ，且，求證:對任意實數(shù)（是常數(shù)，＝）和任意正整數(shù)，總有 2；(Ⅲ) 正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項. （Ⅰ）解：由已知：對于，總有 ①成立∴ （n ≥ 2）② ①②得∴∵均為正數(shù)，∴ （n ≥ 2） ∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 又n=1時， 解得=1∴.() （Ⅱ）證明：∵對任意實數(shù)和任意正整數(shù)n，總有≤. ∴ (Ⅲ)解：由已知 ， 易得 猜想 n≥2 時，是遞減數(shù)列. 令∵當(dāng)∴在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).由.∴n≥2 時, .又 , ∴數(shù)列中的最大項為. 10
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