【導(dǎo)讀】生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象。跨學(xué)科問(wèn)題，反比例函數(shù)的圖象。為正數(shù)，∴選項(xiàng)D正確。線l1、l2的距離分別為a、b，則稱有序非實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，距離坐。如圖所示，所求的點(diǎn)有4個(gè)。設(shè)kI=R，那么點(diǎn)（3，2）滿足這個(gè)函數(shù)解析式，∴k=3&#215;2=6。得到函數(shù)的圖象。根據(jù)浮力的知識(shí)，鐵塊露出水面前讀數(shù)y不變，出水面后y逐漸增大，離開水面后y不變。因?yàn)樾∶饔脧椈煞Q將鐵塊A懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度。∵“關(guān)聯(lián)數(shù)”的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，∴m﹣2=0，解得：m=2。則關(guān)于x的方程11+=1x1m?檢驗(yàn)：把x=3代入最簡(jiǎn)公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解。新定義，估計(jì)無(wú)理數(shù)的大小?！?＜10＜16，∴3104410+15<<<<，。

　　

【正文】 45?，解得 MN=32 。 綜上所述，線段 MN的長(zhǎng)為 3或 32 。 （ 2） ① 如圖所示： ② 每條對(duì)角線處可作 4個(gè)三角形與原三角形相似，那么共有 8個(gè)。 12. （ 2020湖北孝感 8分） 我們把依次連接任意四 邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形． 如圖，在四邊形 ABCD中， E、 F、 G、 H分別是 AB、 BC、 CD、 DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到 中點(diǎn)四邊形 EFGH． (1)這個(gè)中點(diǎn)四邊形 EFGH的形狀是 ； (2)證明你的結(jié)論． 【答案】 解：（ 1）平行四邊形． （ 2）證明：連接 AC， ∵E 是 AB的中點(diǎn)， F是 BC的中點(diǎn)， ∴EF∥AC ， EF=12 AC。 同理 HG∥AC ， HG=12 AC。 ∴EF∥HG ， EF=HG。 ∴ 四邊形 EFGH是平行四邊形。 【考點(diǎn)】 新定義，三角形中位線定理，平行四邊形的 判定。 【分析】 （ 1）根據(jù)四邊形的形狀及三角形中位線的性質(zhì)可判斷出四邊形 EFGH是平行四邊形。 （ 2）連接 AC、利用三角形的中位線定理可得出 HG=EF、 EF∥GH ，從而可判斷出四邊形 EFGH 的形狀。 13. （ 2020湖南張家界 8分） 閱讀材料：對(duì)于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號(hào) abcd 的意義是 abcd =ad﹣ bc．例如：1 234 =14 ﹣ 23= ﹣ 2， 1 43 5? =（﹣ 2） 5 ﹣ 43= ﹣ 22． （ 1）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算 5678 的值； （ 2）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算：當(dāng) x2﹣ 4x+4=0時(shí)， x+1 2xx 1 2x 3?? 的值． 【答案】 解：（ 1） 5678 =58 ﹣ 76= ﹣ 2。 （ 2）由 x2﹣ 4x+4=0得（ x﹣ 2） 2=4， ∴x=2 。 ∴ x+1 2x 3 4=x 1 2x 3 1 1?? =31 ﹣ 41= ﹣ 1。 【考點(diǎn)】 新定義，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程。 【分析】 （ 1）根據(jù)符號(hào) abcd 的意義得到 58 ﹣ 76 ，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算即可。 （ 2）解方程 x2﹣ 4x+4=0得 x=2，代入 x+1 2xx 1 2x 3?? ，然后根據(jù)符號(hào) abcd 的意義得到 31 ﹣ 41 ，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算。 14. （ 2020 湖南郴州 10 分） 閱讀下列材料：我們知道，一次函數(shù) y=kx+b 的圖象是一條直線，而 y=kx+b經(jīng)過(guò)恒等變形可化為直線的另一種表達(dá)形式： Ax+Bx+C=0（ A、 B、 C是常數(shù)，且 A、 B不同時(shí)為 0）．如圖 1，點(diǎn) P（ m， n）到直線 l： Ax+By+C=0的距離（ d）計(jì)算公式是： d=22A m B n C AB? ? ? ?? ． 例：求點(diǎn) P（ 1， 2）到直線 55yx12 12??的距離 d時(shí)，先將 55yx12 12??化為 5x－ 12y－ 2=0，再由上述距離公式求得 d= ? ? ? ?? ?221 5 1 1 2 2 2 21 =135 1 2? ? ? ? ? ???． 解答下列問(wèn)題： 如圖 2，已知直線 4y x 43?? ? 與 x軸交于點(diǎn) A，與 y軸交于點(diǎn) B，拋物線 2y x 4x 5? ? ? 上的一點(diǎn) M（ 3， 2）． （ 1）求點(diǎn) M到直線 AB的距離． （ 2）拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得 △PAB 的面積最小？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)及 △PAB 面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解：（ 1）將 4y x 43?? ? 化為 4x＋ 3y＋ 12=0，由上述距離公式得： d= 224 3 3 2 1 2 30 = = 6534? ? ? ?? 。 ∴ 點(diǎn) M到直線 AB的距離為 6。 （ 2）存在。 設(shè) P（ x， 2x 4x 5??），則點(diǎn) P到直線 AB的距離為： d= ? ?2224x 3 x 4x 5 12 34? ? ? ??。 由圖象，知點(diǎn) P到直線 AB的距離最小時(shí) x＞ 0， 2x 4x 5??＞ 0， ∴d= ? ?2 22224x 3 x 4x 5 12 3x 8x +27 3 4 13 = = x +5 5 3 334? ? ? ? ? ????????。 ∴ 當(dāng) 4x=3 時(shí)， d最小，為 133 。 當(dāng) 4x=3 時(shí)， 22 4 4 1 3x 4 x 5 = 4 5 =3 3 9??? ? ? ? ?????， ∴P （ 43 ， 139 ）。 又在 4y x 43?? ? 中，令 x=0，則 y=－ 4。 ∴B （ 0，－ 4）。 令 y=0，則 x=－ 3。 ∴A （－ 3， 0）。 ∴AB= 2234? =5。 ∴△PAB 面積的最小值為 1 13 655=2 3 6?? 。 【考點(diǎn)】 新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理。 【分析】 （ 1）按例求解即可。 （ 2）用二次函數(shù)的最值，求出點(diǎn) P到直線 AB的距離最小值，即可求出答案。 15. （ 2020湖南張家界 8分） 閱讀材料：對(duì)于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號(hào) abcd 的意義是 abcd =ad﹣ bc．例如：1 234 =14 ﹣ 23= ﹣ 2， 1 43 5? =（﹣ 2） 5 ﹣ 43= ﹣ 22． （ 1）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算 5678 的值； （ 2）按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算：當(dāng) x2﹣ 4x+4=0時(shí)， x+1 2xx 1 2x 3?? 的值． 【答案】 解：（ 1） 5678 =58 ﹣ 76= ﹣ 2。 （ 2）由 x2﹣ 4x+4=0得（ x﹣ 2） 2=4， ∴x=2 。 ∴ x+1 2x 3 4=x 1 2x 3 1 1?? =31 ﹣ 41= ﹣ 1。 【考點(diǎn)】 新定義，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程。 【分析】 （ 1）根據(jù)符號(hào) abcd 的意義得到 58 ﹣ 76 ，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算即可。 （ 2）解方程 x2﹣ 4x+4=0得 x=2，代入 x+1 2xx 1 2x 3?? ，然后根據(jù)符號(hào) abcd 的意義得到 31 ﹣ 41 ，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算。 16. （ 2020貴州銅仁 10分） 如圖，定義：在直角三角形 ABC中，銳角 α 的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角 α 的余切，記作 ctanα ，即 ctanα= ACBC?? ?角 的角 的 鄰 邊對(duì) 邊，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問(wèn)題： （ 1） ctan30176。= ； （ 2）如圖，已知 tanA=43 ，其中 ∠A 為銳角，試求 ctanA的值． 【答案】 解：（ 1） ∵Rt△ABC 中， α=30176。 ， ∴BC= 12 AB， ∴ 2 2 2 213A C A B B C A B A B A B42? ? ? ? ?。 ∴ctan30176。3 ABAC 2 31BC AB2? ? ?。 （ 2） ∵tanA= 34 ， ∴ 設(shè) BC=3a， AC=4 a，則 AB=5 a。 ∴ctanA= AC 4a 4BC 3a 3? ? ?。 【考點(diǎn)】 新定義，含 30176。 角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理。 【分析】 （ 1）根據(jù) 30176。 角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出 BC和 AC與 AB的關(guān)系，根據(jù)余切求解 即可。 （ 2）根據(jù) tanA=34 ，求出 BC 和 AC，根據(jù)余切求解即可。 17. （ 2020甘肅蘭州 10分） 如圖，定義：若雙曲線 ky=x (k＞ 0)與它的其中一條對(duì)稱軸 y＝ x相交于 A、B兩點(diǎn)，則線段 AB的長(zhǎng)度為雙曲線 ky=x (k＞ 0)的對(duì)徑． (1)求雙曲線 1y=x 的對(duì)徑． (2)若雙曲線 ky=x (k＞ 0)的對(duì)徑是 102 ，求 k的值． (3)仿照上述定義，定義雙曲線 ky=x (k＜ 0)的對(duì)徑． 【答案】 解：如圖，過(guò) A點(diǎn)作 AC⊥x 軸于 C， （ 1）解方程組 ky=xy=x?????，得 12x =1 x = 1y =1 y = 1???????? ， ∴A 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 1)， B點(diǎn)坐標(biāo)為 (－ 1，－ 1)。 ∴OC ＝ AC＝ 1， ∴O A＝ 2 OC＝ 2 。 ∴AB ＝ 2OA＝ 2 2 ， ∴ 雙曲線 1y=x 的對(duì)徑是 2 2 。 （ 2） ∵ 雙曲線的對(duì)徑為 102 ，即 AB＝ 102 ， OA＝ 5 2 。 ∴OA ＝ 2 OC＝ 2 AC， ∴OC ＝ AC＝ 5。 ∴ 點(diǎn) A坐標(biāo)為 (5， 5)。 把 A(5， 5)代入雙曲線 ky=x (k＞ 0)得 k＝ 55 ＝ 25，即 k的值為 25。 （ 3）若雙曲線 ky=x (k＜ 0)與它的其中一條對(duì)稱軸 y＝－ x相交于 A、 B兩點(diǎn)，則線段 AB的長(zhǎng)稱為雙曲線 ky=x (k＜ 0)的對(duì)徑。 【考點(diǎn)】 新定義，反比例函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理。 【分析】 過(guò) A點(diǎn)作 AC⊥x 軸于 C， （ 1）解方程組 ky=xy=x?????，可 得到 A 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 1)， B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (－ 1，－ 1)，即 OC＝ AC＝ 1，由勾股定理可求 AB，于是得到雙曲線 1y=x 的對(duì)徑。 （ 2）根據(jù)雙曲線的對(duì)徑的定義得到當(dāng)雙曲線的對(duì)徑為 102 ，即 AB＝ 102 ， OA＝ 5 2 ，根據(jù) OA＝ 2 OC＝ 2 AC，則 OC＝ AC＝ 5，得到點(diǎn) A坐標(biāo)為 (5， 5)，把 A(5， 5)代入雙曲線 ky=x (k＞ 0)即可得到k的值； （ 3）雙曲線 ky=x (k＜ 0)的一條對(duì)稱軸與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題目中的定義易得到雙曲線 ky=x（ k＜ 0)的對(duì)徑。