【導(dǎo)讀】相等，則這個(gè)四邊形是正方形。A．πB．3C．33+42?旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積。在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，設(shè)點(diǎn)B掃過的路線與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，∵BC=DC，∴△BCD是等邊三角形。A．110°B．80°C．40°D．30°∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°?！唷螧CA′=30°+50°=80°，故選B?！邔ⅰ鰽OB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′OB′，∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA?！咴凇鰽OO′中，三邊長為O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一組勾股數(shù)，∴△AOO′是直角三角形。綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤。∵點(diǎn)E是正方形的對稱中心，∴EN=EM，EMBN是正方形。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠NEK=∠MEL，在Rt△ENK和Rt△EML中，積S不因旋轉(zhuǎn)的角度θ的改變而改變。

　　

【正文】 ∴∠ABD ＋ ∠E’BA = 12 ∠ABC ，即 ∠E’BD= 12 ∠ABC 。 ∴∠E’BD=∠DBE 。 在 △E’BD 和 △EBD 中， ∵BE’=BE ， ∠E’BD=∠DBE ， BD=BD， ∴△E’BD≌△EBD （ SAS）。 ∴DE’=DE 。 （ 2）以點(diǎn) B 為旋轉(zhuǎn)中心，將 △BEC 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC=90176。 ，得 到 △BE’A （點(diǎn) C 與點(diǎn) A 重合，點(diǎn) E 到點(diǎn) E’ 處），連用心 愛心 專心 29 接 DE’ 。 由（ 1）知 DE’=DE 。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知 E’A=EC ， ∠E’ AB=∠ECB 。 又 ∵BA=BC ， ∠ABC=90176。 ， ∴∠BAC=∠ACB=45176。 。 ∴∠E’ AD=∠E’ AB ＋ ∠BAC=90176。 。 在 Rt△DE’A 中 ， DE’ 2=AD2+E’A 2， ∴ DE2=AD2+EC2。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】 （ 1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得 BE’=BE ， ∠E’BA=∠EBC ，由已知 ∠DBE= 12 ∠ABC 經(jīng)等量代換可得 ∠E’BD=∠DBE ，從而可由 SAS得 △E’BD≌△EBD ，得到 DE’=DE 。 （ 2）由（ 1）的啟示，作如（ 1）的輔助圖形，即可得到直角三角形 DE’A ，根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論。 6. （ 2020江蘇淮 安 12分） 如圖，矩形 OABC在平面直角坐標(biāo) 系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A（ 0， 4）， C（ 2， 0），將矩形 OABC繞點(diǎn) O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 1350，得到矩形 EFGH（點(diǎn) E與 O重合） . （ 1） 若 GH交 y軸于點(diǎn) M，則 ∠FOM ＝ ， OM= （ 2）矩形 EFGH沿 y軸向上平移 t個(gè)單位。 ① 直線 GH與 x軸交于點(diǎn) D，若 AD∥BO ，求 t的值； ② 若矩形 EFHG與矩形 OABC重疊部分的面積為 S個(gè)平方單位，試求當(dāng) 0t≤ 224 ? 時(shí)， S與 t之間的函數(shù)關(guān)系式。 【答案】 解：（ 1） 450； 22。 （ 2） ① 如圖 1，設(shè)直線 HG 與 y軸交于點(diǎn) I。 ∵ 四邊形 OABC是矩形， ∴AB∥DO ， AB=OC。 用心 愛心 專心 30 ∵C （ 2， 0）， ∴AB=OC=2 。 又 ∵AD∥BO ， ∴ 四邊形 ABOD是平行四邊形。 ∴DO=AB=2 。 由（ 1）易得， △DOI 是等腰直角三角形， ∴OI=OD=2 。 ∴t=IM=OM － OI=22－ 2。 ② 如圖 2，過點(diǎn) F， G分別作 x軸， y軸的垂線，垂足為 R， T，連接 OC。則 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得， OF=OA=4， ∠FOR ＝ 450， ∴OR=RF= 22， F（ 22，－ 22）。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，得 OG=25， 設(shè) TG=MT=x，則 OT=OM＋ MT=2 2+x 。 在 Rt△OTG 中，由勾股定理，得 ? ? ? ?222x + 2 2 + x = 2 5，解得 x= 2 。 ∴G （ 2 ，－ 32）。 ∴ 用待定系數(shù)法求得直線 FG的解析式為 y=x 4 2? 。 當(dāng) x=2時(shí)， y=2 4 2? 。 ∴ 當(dāng) t=4 2 2? 時(shí)，就是 GF平移到過點(diǎn) C時(shí)的位置（如圖 5） 。 ∴ 當(dāng) 0t≤ 4 2 2? 時(shí)，幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)如圖 3， 4， 5所示： 如圖 3 ， t=OE=OC=2，此時(shí)，矩形 EFGH沿 y軸向上平移過程中邊 EF經(jīng)過點(diǎn) C； 如圖 4， t=OE=OM=22，此時(shí)，矩形 EFGH沿 y軸向上平移過程中邊 HG經(jīng)過點(diǎn) O； 如圖 5， t=OE=4 2 2? ， 此時(shí)，矩形 EFGH沿 y軸向上平移過程中邊 FG經(jīng)過點(diǎn) C。 用心 愛心 專心 31 ∴ （ I）當(dāng) 0t≤2 時(shí)，矩形 EFHG與矩形 OABC重疊部分的面積為 △OCS 的面積（如圖6）。此時(shí)， OE=OS= t， ∴ 21St2?。 （ II）當(dāng) 2t≤ 22時(shí)，矩形 EFHG與矩形 OABC重疊部分的面積為直角梯形 OEPC的面積（如圖 7）。此時(shí) OE= t， OC=2。 由 E（ 0， t）， ∠FFO=45 0，用用待定系數(shù)法求得直線 EP的解析式為 y= x+t? 。 當(dāng) x=2時(shí)， y= 2+t? 。 ∴CP= 2+t? 。 ∴ ? ?1S t 2 + t 2 = 2 t 22? ? ? ?。 （ III）當(dāng) 22t≤ 4 2 2? 時(shí)，矩形 EFHG與矩形 OABC重疊部分的面積為五邊形 EQCUV的面積（如圖 8），它等于直角梯形 EQCO的面積減去直角三角形 VOU的的面積。 此時(shí)， OE= t， OC=2， CQ= 2+t? ， OU=OV= t－ 22。 ∴ ? ? ? ? ? ?2 21 1 1S t 2 + t 2 t 2 2 = t + 2 + 2 2 t 62 2 2? ? ? ? ? ? ?。 綜上所述，當(dāng) 0t≤ 4 2 2? 時(shí)， S與 t之間的函數(shù)關(guān)系式為 ? ?? ?? ? ? ?221 t 0 t 22S 2t 2 2 t 2 21 t + 2+2 2 t 6 2 2 t 4 2 22? ????? ? ???? ? ? ? ???。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 【分析】 （ 1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得 ∠AOF ＝ 1350， ∴∠FOM ＝ 450。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 得 ∠OHM ＝ 450， OH=OC=2， ∴OM= 22。 用心 愛心 專心 32 （ 2） ① 由矩形的性質(zhì)和已知 AD∥BO ，可得四邊形 ABOD是平行四邊形，從而 DO=AB=2。又由 △DOI是等腰直角三角形可得 OI=OD=2。從而由平移的性質(zhì)可求得 t=IM=OM－ OI=22－ 2。 ② 首先確定當(dāng) 0t≤ 4 2 2? 時(shí)，矩形 EFGH 沿 y 軸向上平移過程中關(guān)鍵點(diǎn)的位置，分0t≤2 ， 2t≤ 22， 22t≤ 4 2 2? 三種情況求出 S與 t之間的函數(shù)關(guān)系式。 7. （ 2020江蘇 鎮(zhèn)江 6 分） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 0， 2），直線 OP 經(jīng)過原點(diǎn)，且位于一、三象限， ∠AOP=45 0（如圖 1）。設(shè)點(diǎn) A關(guān)于直線 OP的對稱點(diǎn)為 B。 （ 1）寫出點(diǎn) B的坐標(biāo) ▲ ； （ 2）過原點(diǎn) O的直線 l從直線 OP 的位置開始，繞原點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 ① 當(dāng)直線 l 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 100到直線 l1的位置時(shí)（如圖 1），點(diǎn) A 關(guān)于直線 l1的對稱點(diǎn)為 C，則 ∠BOC 的度數(shù)是 ▲ ，線段 OC的長為 ▲ ； ② 當(dāng)直線 l 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 550到直線 l2的位置時(shí)（如圖 2），點(diǎn) A 關(guān)于直線 l2的對稱點(diǎn)為 D，則 ∠BOD 的度數(shù)是 ▲ ； ③ 直線 l順時(shí)針旋轉(zhuǎn) n0（ 0＜ n≤90 0），在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為 ▲ （用含 n的代數(shù)式表示）。 【答案】 解：（ 1）（ 2， 0）。 （ 2） ① 200， 2； ② 1100； ③ n45? 。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)， 圓周角定理，扇形弧長公式。 【分析】 （ 1）如圖 1， ∵ ∠AOP=45 0，點(diǎn) A在 y軸上， ∴ 點(diǎn) A關(guān)于直線 OP 的對稱點(diǎn) B在 x軸上。 ∴ 根據(jù)軸對稱和線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可知 B（ 2， 0）。 （ 2） ① 如圖 1， 根據(jù)軸對稱和線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可知 OC=OA=2， ∴ 點(diǎn) A、 B、 C在以點(diǎn) O為圓心， OA=2為半徑的圓上。 用心 愛心 專心 33 ∵∠BAC= 100（可由兩直角三角形得到）， ∴ 根據(jù)同弧所對圓周角是圓心角一半的性質(zhì)，得 ∠BOC=2 ∠BAC= 200。 ② ∵∠DAO=∠Bal 1=550－ 450=100， ∴ ∠BOC=90 0＋ 2∠DAO=90 0＋ 200=1100。 ③ 由上知，直線 l順時(shí)針旋轉(zhuǎn) n0（ 0＜ n≤90 0）的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) A關(guān)于直線 l的對稱點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為：以 點(diǎn) O為圓心， OA=2為半徑， 2n0為圓心角的圓弧。 ∴ 路徑長為： 2n 2 n=180 45???? 。 8. （ 2020福建南平 12分） 在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC如圖所示放置，點(diǎn) A在 x軸上，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0），將此矩形繞 O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 ，得到矩形 OA′B′C′ ． （ 1）寫出點(diǎn) A、 A′ 、 C′ 的坐標(biāo)； （ 2）設(shè)過點(diǎn) A、 A′ 、 C′ 的拋物線解析式為 y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（ a、 b、 c 可用含 m 的式子表示） （ 3）試探究：當(dāng) m的值改變時(shí)，點(diǎn) B關(guān)于點(diǎn) O的對稱點(diǎn) D是否可能落在（ 2）中的拋物線上？若能，求出此時(shí) m的值． 【答案】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD是矩形，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0）， ∴A （ m， 0）， C（ 0， 1）。 ∵ 矩形 OA′B′C′ 由矩形 OABC 旋轉(zhuǎn) 90176。 而成， ∴A′ （ 0， m）， C′ （－ 1， 0）。（ 2）設(shè)過點(diǎn) A、 A′ 、 C′ 的拋物線解析式為 y=ax2＋ bx＋ c， 用心 愛心 專心 34 ∵A （ m， 0）， A′ （ 0， m）， C′ （－ 1， 0）， ∴2 am bm c 0 c m a b c 0? ? ? ?????? ? ??，解得 a 1 b m 1 cm??????????。 ∴ 此拋物線的解析式為： y=－ x2＋（ m－ 1） x＋ m。 （ 3） ∵ 點(diǎn) B與點(diǎn) D關(guān)于原點(diǎn)對稱， B（ m， 1）， ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為：（－ m，－ 1）， 假設(shè)點(diǎn) D（－ m，－ 1）在（ 2）中的拋物線上， ∴0= －（－ m） 2＋（ m－ 1） 179。 （－ m）＋ m=1，即 2m2－ 2m＋ 1=0， ∵△= （－ 2） 2－ 4179。2179。2= － 4＜ 0， ∴ 此方程無解。 ∴ 點(diǎn) D不在（ 2）中的拋物線上。 9. （ 2020福建寧德 13分） 如圖，矩形 OBCD的邊 OD、 OB分別在 x軸正半軸和 y軸負(fù)半軸上，且 OD＝ 10，OB＝ 8．將矩形的邊 BC繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) C恰好與 x軸上的點(diǎn) A重合． (1)直接寫出點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)： A( ， )、 B( ， )； (2)若拋物線 y＝－ 1 3 x2＋ bx＋ c經(jīng)過點(diǎn) A、 B，則這條拋物線的解析式是 ； (3)若點(diǎn) M是直線 AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作 MN⊥ x軸于點(diǎn) N．問是否存在點(diǎn) M，使 △AMN 與 △ACD 相似？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； (4)當(dāng) 7 2 ≤x≤7 ，在拋物線上存在點(diǎn) P，使 △ABP 的面積最大，求 △ABP 面積的最大值． 用心 愛心 專心 35 【答案】 解：（ 1）（ 6， 0），（ 0，－ 8）。 （ 2） 21 10y x + x 833??＝ 。 （ 3）存在。 設(shè) M 21 1 0m m + m 833????????， 則 N（ m， 0） MN= 21 10m + m 833??， NA=6－ m。 又 DA=4， CD=8， ① 若點(diǎn) M在點(diǎn) N上方， MN NACD DA? ，則 △AMN∽△ACD 。 ∴ 21 10m + m 8 6m3384?? ??，即 2m 16m+60=0? ，解得 m=6或 m=10。 與點(diǎn) M是直線 AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不符。 ∴ 此時(shí)不存在點(diǎn) M，使 △AMN 與 △ACD 相似。 ② 若點(diǎn) M在點(diǎn) N下方， MN NACD DA? ，則 △AMN∽△ACD 。 ∴ 21 1 0m m + 8 6m3384? ??，