【導(dǎo)讀】的切線交于點B，且∠APB=60°，設(shè)OP=x，則△PAB的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是。動點問題的函數(shù)圖象，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！逜B與⊙O相切，∴∠BAP=90°，∴△PAB的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖像是經(jīng)過（2，0）的拋物線在0≤x≤2的部分。沿AC方向勻速運(yùn)動到終點C,動點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動到終點知P，Q兩點同時出發(fā)，如圖所示，連接CM，∵M(jìn)是AB的中點，結(jié)束時，S△MPQ=S△BCM=12S△ABC?！鱉PQ的面積大小變化情況是：先減小后增大。上異于A．B的一動點，直線PA．PB分別交y軸于C．D，以CD為直徑的⊙N與x軸交于E、F，則EF的長?！摺螾BA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB?！摺螦PB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA?！嗳羲倪呅蜵PCP′為菱形，則t的值為2。故選項D選項錯誤，選項C正確。

　　

【正文】 C于點D．設(shè) AE的長為 m， △AD E的面積為 s，求 s關(guān)于 m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 m的取值范圍； （ 3）在（ 2）的條件下，連接 CE，求 △CDE 面積的最大值；此時，求出以點 E為圓心，與 BC 相切的圓的面積（結(jié)果保留 π ）． 【答案】 解：（ 1）在 213y= x x 922??中， 令 x=0，得 y=－ 9， ∴C （ 0，﹣ 9）； 令 y=0，即 213x x 9=022??，解得： x1=﹣ 3， x2=6， ∴A （﹣ 3， 0）、 B（ 6， 0）。 ∴AB=9 ， OC=9。 （ 2） ∵ED∥BC ， ∴△AED∽△ABC ， ∴ 2AEDABCS AES AB?????????，即： 2sm19992 ?????????。 ∴s= 12 m2（ 0＜ m＜ 9）。 （ 3） ∵S △AEC =12 AE?OC=92 m， S△AED =s=12 m2， ∴S △EDC =S△AEC ﹣ S△AED =﹣ 12 m2+92 m=﹣ 12 （ m﹣ 92 ） 2+818 。 ∴△CDE 的最大面積為 818 ， 此時， AE=m=92 ， BE=AB﹣ AE=92 。 又 22B C 6 + 9 = 3 13? ， 過 E作 EF⊥BC 于 F，則 Rt△BEF∽Rt△BCO ，得： EF BEOC BC? ，即： 9EF 29 3 13?。 用心 愛心 專心 30 ∴ 27EF 1326?。 ∴ 以 E點為圓心，與 BC相切的圓的面積 S⊙E =π?EF 2=72952? 。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質(zhì)。 【分析】 （ 1）已知拋物線的解析式，當(dāng) x=0，可確定 C點坐標(biāo)；當(dāng) y=0時，可確定 A、 B點的坐標(biāo)，從而確定 AB、 OC的長。 （ 2）直線 l∥BC ，可得出 △AED∽△ABC ，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關(guān)于 s、 m的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題目條件：點 E與點 A、 B不重合，可確定 m的取值范圍。 （ 3） ① 首先用 m列出 △AEC 的面積表達(dá)式， △AEC 、 △AED 的面積差即為 △CDE 的面積，由此可得關(guān)于 S△CDE 關(guān)于 m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到 S△CDE 的最大面積以及此時 m的值。 ② 過 E做 BC的垂線 EF，這個垂線段的長即為與 BC相切的 ⊙E 的半徑，可根據(jù)相似三角形 △BEF 、△BCO 得到的相關(guān)比例線段求得該半徑的值，由此得解。 5. （ 2020廣東湛江 12分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形 AOB的頂點 A、 B分別落在坐標(biāo)軸上． O為原點，點 A的坐標(biāo)為（ 6， 0），點 B的坐標(biāo)為（ 0， 8）．動點 M從點 O出發(fā)．沿 OA 向終點 A以每秒 1個單位的速度運(yùn)動，同時動點 N從點 A出發(fā)，沿 AB向終點 B以每秒 個單位的速度運(yùn)動．當(dāng)一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)動點 M、 N運(yùn)動的時間為 t秒（ t＞ 0）． （ 1）當(dāng) t=3秒時．直接寫出點 N的坐標(biāo)， 并求出經(jīng)過 O、 A、 N三點的拋物線的解析式； （ 2）在此運(yùn)動的過程中， △MNA 的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由； （ 3）當(dāng) t為何值時， △MNA 是一個等腰三角形？ 【答案】 解：（ 1） N（ 3， 4）。 ∵A （ 6， 0） ∴ 可設(shè)經(jīng)過 O、 A、 N三點的拋物線的解析式為： y=ax（ x﹣ 6），則將 N（ 3， 4）代入得 4=3a（ 3﹣ 6），解得 a=﹣ 49 。 用心 愛心 專心 31 ∴ 拋物線的解析式： 24 4 8y x x 6 x + x9 9 3? ? ? ? ?（ ）。 （ 2）存在。過點 N作 NC⊥OA 于 C， 由題意， AN=53 t， AM=OA﹣ OM=6﹣ t， ∴NC=NA?sin∠BAO= 5 4 4t = t3 5 3? 。 ∴ 2M N A 1 1 4 2S A M N C 6 t t t 3 62 2 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ）。 ∴△MNA 的面積有最大值，且最大值為 6。 （ 3）在 Rt△NCA 中， AN=53 t， NC=AN?sin∠BAO= 5 4 4t = t3 5 3? ， AC=AN?cos∠BAO=t 。 ∴OC=OA ﹣ AC=6﹣ t。 ∴N （ 6﹣ t， 4t3 ）。 ∴ ? ? 22 24 5 2N M 6 t t + t t 2 4 t+ 3 639??? ? ? ? ? ?????。 又 AM=6﹣ t且 0＜ t＜ 6， ① 當(dāng) MN=AN時， 252 5t 24t+ 36 = t93?，即 t2﹣ 8t+12=0，解得 t1=2， t2=6（舍去）。 ② 當(dāng) MN=MA時， 252 t 2 4 t+ 3 6 = 6 t9 ??，即 243t 12t=09 ? ，解得 t1=0（舍去）， t2=10843 。 ③ 當(dāng) AM=AN時， 6﹣ t=53 t，即 t=94 。 綜上所述，當(dāng) t的值取 2或 10843 或 94 時， △MAN 是等腰三角形。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，動點問題，勾股定理，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的最值，等腰 三角形的性質(zhì)。 【分析】 （ 1）由 A、 B的坐標(biāo)，可得到 OA=6， OB=8，根據(jù)勾股定理可得 AB=10。 當(dāng) t=3時， AN=53 t=5=12 AB，即 N是 AB 的中點，由此得到點 N的坐標(biāo) N（ 3， 4）。 利用待定系數(shù)法，設(shè)交點式求出拋物線的解析式。 （ 2） △MNA 中，過 N作 MA邊上的高 NC，先由 ∠BAO 的正弦值求出 NC 的表達(dá)式，而 AM=OAOM，由三角形的面積公式可得到關(guān)于 S△MNA 關(guān)于 t的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最 值原理即可求出 △MNA 的最大面積。 （ 3）首先求出 N 點的坐標(biāo)，然后表示出 AM、 MN、 AN 三邊的長。由于 △MNA 的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論： ①MN=NA 、 ②MN=MA 、 ③NA=MA ；直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解用心 愛心 專心 32 即可。 6. （ 2020浙江湖 州 12 分） 如圖 1，已知菱形 ABCD的邊長為 23，點 A在 x 軸負(fù)半軸上，點 B在坐標(biāo)原點．點 D的坐標(biāo)為（ 3 ， 3），拋物線 y=ax2+b（ a≠0 ）經(jīng) 過 AB、 CD 兩邊的中點． （ 1）求這條拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）將菱形 ABCD以每秒 1個單位長度的速度沿 x軸正方向勻速平移（如圖 2），過點 B作 BE⊥CD 于點 E，交拋物線于點 F，連接 DF、 AF．設(shè)菱形 ABCD平移的時間為 t秒（ 0＜ t＜ 3 ） ① 是否存在這樣的 t，使 △ADF 與 △DEF 相似？若存在，求出 t的值；若不存在，請說明理由； ② 連接 FC，以點 F 為旋轉(zhuǎn)中心，將 △FEC 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180176。 ，得 △FE′C′ ，當(dāng) △FE′C′ 落在 x 軸與拋物線在 x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求 t的取值范圍．（寫出 答案即可） 【答案】 解：（ 1）由題意得 AB 的中點坐標(biāo)為（－ 3 ， 0）， CD的中點坐標(biāo)為（ 0， 3）， 分別代入 y=ax2+b，得 ? ?2 3 a+b=0b3? ??????，解得， a= 1b3????? 。 ∴ 這條拋物線的函數(shù)解析式為 y=－ x2＋ 3。 （ 2） ① 存在。如圖 2所示，在 Rt△BCE 中， ∠BEC=90176。 ， BE=3， BC=23 ， ∴ B E 3 3sin C =B C 223?? 。 ∴∠C=60176。 ， ∠CBE=30176。 。 ∴EC= 12 BC= 3 ， DE=3 。 又 ∵AD∥BC ， ∴∠ADC+∠C=180176。 。 ∴∠ADC=180176。 60176。=120176。 要使 △ADF 與 △DEF 相似，則 △ADF 中必有一個角為直角。 （ I）若 ∠ADF=90 176。 ， ∠EDF=120176。 － 90176。=30176。 。 在 Rt△DEF 中， DE= 3 ，得 EF=1， DF=2。 又 ∵E （ t， 3）， F（ t，－ t2+3）， ∴EF=3 －（－ t2＋ 3） =t2。 ∴t 2=1。 ∵t ＞ 0， ∴t=1 。 用心 愛心 專心 33 此時 A D 2 3 D F 22 = 2D E E F 13? ? ? ， ∴ AD DF=DE EF。 又 ∵∠ADF=∠DEF ， ∴△ADF∽△DEF 。 （ II）若 ∠DFA=90176。 ，可證得 △DEF∽△FBA ，則 DE EFFB BA? 。 設(shè) EF=m，則 FB=3－ m。 ∴ 3 m m 3 23?? ，即 m2－ 3m＋ 6=0，此方程無實數(shù)根。 ∴ 此時 t不存在。 （ III）由題意得， ∠DAF ＜ ∠DAB=60176。 ， ∴∠DAF≠90176。 ，此時 t不存在。 綜上所述，存在 t=1，使 △ADF 與 △DEF 相似。 ② 66 3 t 2? ? ? 。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行的性質(zhì)，相似三角形的判定，解方程和不等式。 【分析】 （ 1）根據(jù)已知條件求出 AB 和 CD的中點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求該二次函數(shù)的解析式。 （ 2） ① 如圖 2所示， △ADF 與 △DEF 相似，包括三種情況，需要分類討論： （ I）若 ∠ADF=90176。 時， △ADF ∽△DEF ，求此時 t的值。 （ II）若 ∠ADF=90176。 時， △DEF∽△FBA ，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以求得相應(yīng)的 t的值。 （ III） ∠DAF≠90176。 ，此時 t不存在。 ② 畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，認(rèn)真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據(jù)限制條件列出不等式，求出 t的取值范圍： 如圖 3 所示，依題意作出旋轉(zhuǎn)后的三角形 △FE′C′ ，過 C′ 作MN⊥x 軸，分別交拋物線、 x軸于點 M、點 N。 觀察圖形可知，欲使 △FE′C′ 落在指定區(qū)域內(nèi)，必須滿足：EE′≤BE 且 MN≥C′N 。 ∵F （ t， 3－ t2）， ∴EF =3－（ 3－ t2） =t2。 ∴EE′=2EF=2t 2。 由 EE′≤BE ，得 2t2≤3 ，解得 6t 2? 。 又 ∵C′E′=CE= 3 ， ∴C′ 點的橫坐標(biāo)為 t－ 3 。 ∴MN=3 －（ t－ 3 ） 2， 又 C′N=BE′=BE － EE′=3 － 2t2， 用心 愛心 專心 34 ∴ 由 MN≥C′N ，得 3－（ t－ 3 ） 2≥3 － 2t2，即 t2＋ 2 3 t－ 3≥0 。 求出 t2＋ 2 3 t－ 3=0，得 t= 3 6?? ， ∴t 2＋ 2 3 t－ 3≥0 即 ? ?? ?t+ 3 + 6 t+ 3 6 0??。 ∵ t+ 3+ 6 0? ， ∴ t+ 3 6 0??，解得 t≥ 6 3? 。 ∴t 的取值范圍為： 66 3 t 2? ? ? 。 7. （ 2020浙江 紹興 14分） 如圖，矩形 OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接 AC，拋物線 2y x 4x 2? ? ? 經(jīng)過 A，B兩點。 （ 1）求 A點坐標(biāo)及線段 AB的長； （ 2）若點 P由點 A出發(fā)以每秒 1個單位的速度沿 AB邊向點 B移動， 1秒后點 Q也由點 A出發(fā)以每秒 7個單位的速度沿 AO， OC， CB邊向點 B移動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時另一個點也停止移動，點 P的移動時間為 t秒。 ① 當(dāng) PQ⊥AC 時，求 t的值； ② 當(dāng) PQ∥AC 時，對于拋物線對稱軸上一點 H， ∠HOQ ＞ ∠POQ ，求點 H的縱坐標(biāo)的取值范圍。 【答案】 解：（ 1）由拋物線 2y x 4x 2? ? ? 知：當(dāng) x=0時， y=﹣ 2， ∴A （ 0，﹣ 2）。 ∵ 四邊形 OABC是矩形， ∴AB∥x 軸，即 A、 B的縱坐標(biāo)相同。 當(dāng) y=﹣ 2時， 22 x 4x 2? ? ? ?，解得 12x 0 x 4??， 。 ∴B （ 4，﹣ 2）。 ∴AB=4 。 （ 2） ① 由題意知： A點移動路程為 AP=t， Q點移動路程為 7（ t－ 1） =7 t － 7。 當(dāng) Q點在 OA上時，即 0 7t 7 2? ? ? ， 91t7?