【正文】 （ 2） ① 由題意知： A點(diǎn)移動路程為 AP=t， Q點(diǎn)移動路程為 7（ t－ 1） =7 t － 7。 ∴B （ 4，﹣ 2）。 ∵ 四邊形 OABC是矩形， ∴AB∥x 軸，即 A、 B的縱坐標(biāo)相同。 ① 當(dāng) PQ⊥AC 時，求 t的值； ② 當(dāng) PQ∥AC 時，對于拋物線對稱軸上一點(diǎn) H， ∠HOQ ＞ ∠POQ ，求點(diǎn) H的縱坐標(biāo)的取值范圍。 7. （ 2020浙江 紹興 14分） 如圖，矩形 OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接 AC，拋物線 2y x 4x 2? ? ? 經(jīng)過 A，B兩點(diǎn)。 ∵ t+ 3+ 6 0? ， ∴ t+ 3 6 0??，解得 t≥ 6 3? 。 ∴MN=3 －（ t－ 3 ） 2， 又 C′N=BE′=BE － EE′=3 － 2t2， 用心 愛心 專心 34 ∴ 由 MN≥C′N ，得 3－（ t－ 3 ） 2≥3 － 2t2，即 t2＋ 2 3 t－ 3≥0 。 由 EE′≤BE ，得 2t2≤3 ，解得 6t 2? 。 ∵F （ t， 3－ t2）， ∴EF =3－（ 3－ t2） =t2。 ② 畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，認(rèn)真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據(jù)限制條件列出不等式，求出 t的取值范圍： 如圖 3 所示，依題意作出旋轉(zhuǎn)后的三角形 △FE′C′ ，過 C′ 作MN⊥x 軸，分別交拋物線、 x軸于點(diǎn) M、點(diǎn) N。 （ III） ∠DAF≠90176。 （ II）若 ∠ADF=90176。 （ 2） ① 如圖 2所示， △ADF 與 △DEF 相似，包括三種情況，需要分類討論： （ I）若 ∠ADF=90176。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行的性質(zhì)，相似三角形的判定，解方程和不等式。 綜上所述，存在 t=1，使 △ADF 與 △DEF 相似。 ， ∴∠DAF≠90176。 ∴ 此時 t不存在。 設(shè) EF=m，則 FB=3－ m。 （ II）若 ∠DFA=90176。 用心 愛心 專心 33 此時 A D 2 3 D F 22 = 2D E E F 13? ? ? ， ∴ AD DF=DE EF。 ∴t 2=1。 在 Rt△DEF 中， DE= 3 ，得 EF=1， DF=2。=30176。 ， ∠EDF=120176。 要使 △ADF 與 △DEF 相似，則 △ADF 中必有一個角為直角。 60176。 。 ∴EC= 12 BC= 3 ， DE=3 。 ， ∠CBE=30176。 ， BE=3， BC=23 ， ∴ B E 3 3sin C =B C 223?? 。 （ 2） ① 存在。 ，得 △FE′C′ ，當(dāng) △FE′C′ 落在 x 軸與拋物線在 x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求 t的取值范圍．（寫出 答案即可） 【答案】 解：（ 1）由題意得 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（－ 3 ， 0）， CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3）， 分別代入 y=ax2+b，得 ? ?2 3 a+b=0b3? ??????，解得， a= 1b3????? 。由于 △MNA 的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論： ①M(fèi)N=NA 、 ②MN=MA 、 ③NA=MA ；直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解用心 愛心 專心 32 即可。 （ 2） △MNA 中，過 N作 MA邊上的高 NC，先由 ∠BAO 的正弦值求出 NC 的表達(dá)式，而 AM=OAOM，由三角形的面積公式可得到關(guān)于 S△MNA 關(guān)于 t的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最 值原理即可求出 △MNA 的最大面積。 當(dāng) t=3時， AN=53 t=5=12 AB，即 N是 AB 的中點(diǎn)，由此得到點(diǎn) N的坐標(biāo) N（ 3， 4）。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，動點(diǎn)問題，勾股定理，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的最值，等腰 三角形的性質(zhì)。 ③ 當(dāng) AM=AN時， 6﹣ t=53 t，即 t=94 。 又 AM=6﹣ t且 0＜ t＜ 6， ① 當(dāng) MN=AN時， 252 5t 24t+ 36 = t93?，即 t2﹣ 8t+12=0，解得 t1=2， t2=6（舍去）。 ∴N （ 6﹣ t， 4t3 ）。 （ 3）在 Rt△NCA 中， AN=53 t， NC=AN?sin∠BAO= 5 4 4t = t3 5 3? ， AC=AN?cos∠BAO=t 。 ∴ 2M N A 1 1 4 2S A M N C 6 t t t 3 62 2 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ）。 （ 2）存在。 ∵A （ 6， 0） ∴ 可設(shè)經(jīng)過 O、 A、 N三點(diǎn)的拋物線的解析式為： y=ax（ x﹣ 6），則將 N（ 3， 4）代入得 4=3a（ 3﹣ 6），解得 a=﹣ 49 。 ② 過 E做 BC的垂線 EF，這個垂線段的長即為與 BC相切的 ⊙E 的半徑，可根據(jù)相似三角形 △BEF 、△BCO 得到的相關(guān)比例線段求得該半徑的值，由此得解。 （ 2）直線 l∥BC ，可得出 △AED∽△ABC ，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關(guān)于 s、 m的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題目條件：點(diǎn) E與點(diǎn) A、 B不重合，可確定 m的取值范圍。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質(zhì)。 用心 愛心 專心 30 ∴ 27EF 1326?。 ∴△CDE 的最大面積為 818 ， 此時， AE=m=92 ， BE=AB﹣ AE=92 。 ∴s= 12 m2（ 0＜ m＜ 9）。 ∴AB=9 ， OC=9。 （ 3）分別從當(dāng) 0≤x≤3 時，當(dāng) 3＜ x≤5 時，當(dāng) 5＜ x≤9 時，當(dāng) x＞ 9時去分析求解即可求得答案。 ∴m= 2。 ∴KG=3 ﹣ =， AG= 12 AN=。 情況 ③AM=NM ，此時 M的橫坐標(biāo)是 ， 過點(diǎn) P作 PK⊥OA 于 K，過點(diǎn) M作 MG⊥OA 于 G， ∴MG= 32 。 MJ=MQ?sin60176。 ∴ 此時 m=0。 ， ∴ 點(diǎn) N與 Q重合。 ∵∠PQO=60176。 ， ∴∠MNO=60176。 ∴OE=OA ﹣ AE=6﹣ 3=3， ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 3， 3 3 ）。 ， D（ 0， 3 3 ）， ∴PE=3 3 。 。 【分析】 （ 1） ① 由四邊形 OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn) B的坐標(biāo)： ∵ 四邊形 OABC是矩形， ∴AB=OC ， OA=BC， ∵A （ 6， 0）、 C（ 0， 2 3 ）， ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為：（ 6， 2 3 ）。 綜上所述， S與 x的函數(shù)關(guān)系式為： ? ?? ?? ?? ?243x 4 3 0 x 333 1 3 3 3x x 3 x 52 3 2S23x 1 2 3 5 x 935 4 3x9x?? ? ????? ? ? ???? ?? ? ? ??????。 當(dāng) 5＜ x≤9 時，如圖 3， 12S B E O A O C 3 12 x2323= x 12 33? ? ? ? ??? （ ） （ ）。 （ 3）當(dāng) 0≤x≤3 時， 如圖 1， OI=x， IQ=PI?tan60176。 （ 2）存在。 ②30 。 3. （ 2020廣東梅州 11分） 如圖，矩形 OABC中， A（ 6， 0）、 C（ 0， 2 ）、 D（ 0， 3 ），射線 l過點(diǎn) D且與 x軸平行，點(diǎn) P、 Q分別是 l和 x軸正半軸上動點(diǎn)，滿足 ∠PQO=60176。由 Rt△AOC∽Rt△B′EB 得到 B′E= 125 ， BE=365 ， OE=BE﹣ OB=365 ﹣ 3=215 ，從而得到點(diǎn) B′ 的坐標(biāo)。 因此，由勾股定理求得 AC= 10 ， AB=4。 （ 2）由于點(diǎn) P 在 x軸上運(yùn)動，故由平行四邊形對邊平行的性質(zhì)求得點(diǎn) Q的坐標(biāo)。用待定系數(shù)法，可求得直線 AC的解析式。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，用心 愛心 專心 26 解二元一次方程組。D與 AC的直線解析式可得： y 3x 34 48y= x+13 13???????，解得9x=35132y=35???????。D的解析式為： 4 48y= x+13 13 。 設(shè)直線 B′D 的解析式為 y=k2x+b2（ k2≠0 ），則 2222k +b =421 12k +b =55??????，解得 224k=1348b=13???????。 ∴B′E= 125 ， BE=365 。 ∴BB′=2BF= 12105 ， 由 ∠1=∠2 可得 Rt△AOC∽Rt△B′EB ， ∴ AO CO CA==B E BE BB??。 由 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0， 3）得 OA=1， OB=3， OC=3， ∴AC= 10 ， AB=4。 ∴Rt△AOC∽Rt△AFB 。 過點(diǎn) B′ 作 B′E⊥x 軸于點(diǎn) E。 綜上可得滿足題意的點(diǎn) Q有三個，分別為： Q1（ 2， 3）， Q2（ 1+ 7 ，﹣ 3）， Q3（ 1﹣ 7 ，﹣ 3）。 （ 2）拋物線上有三個這樣的點(diǎn) Q。 ∴ 直線 AC的解析式為 y=3x+3。 ∴C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0， 3）。 ∵ 點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè)， ∴A ． B的坐標(biāo)分別為（﹣ 1， 0），（ 3， 0）。 用心 愛心 專心 24 ∵ 22A B = O B +O A 2 2?，點(diǎn) C是弧 AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B重合）， ∴ 0 x 2 。 （ 3）由 BD=x，可知 2OD 4 x??，由于 ∠1=∠2 ， ∠3=∠4 ，所以 ∠2+∠3=45176。 【分析】 （ 1）由 OD⊥BC ，根據(jù)垂徑定理可得出 BD=12 BC=12 ，在 Rt△BOD 中利用勾股定理即可求出 OD的長。 ∴ 2 2 2 21 1 4 x x + 4 x 4 x + x 4 xy D F O E = 0 x 22 2 422 ? ? ? ?? ? ? ? ? （ ）。 由 △BOD∽△EDF ，得 BD OD=EF DF ，即 22x 4 x=EF 4x2??，解得 EF= 12x。 過 D作 DF⊥OE ，垂足為點(diǎn) F。 ∴∠2+∠3=45176。 （ 3） ∵BD=x ， ∴ 2OD 4 x??。 如圖，連接 AB，則 22A B = O B +O A 2 2?。 用心 愛心 專心 23 又 ∵OB=2 ， ∴ 22 2 2 1 1 5O D = O B B D 222??? ? ? ?????。 用心 愛心 專心 22 8. （ 2020山東萊蕪 4分） 在 △A BC中， AB＝ AC＝ 5， BC＝ 6．若點(diǎn) P在邊 AC上移動，則 BP的最小值是 ▲ ． 三 、 解答 題 1. （ 2020上海市 14分） 如圖，在半徑為 2的扇形 AOB中， ∠AOB=90176。 ∴ 點(diǎn) G的運(yùn)行軌跡為 △HCD 的中位線 MN， ∵AB=6 ， AC=DB=1， ∴CD=6 ﹣ 1﹣ 1=4。 ∴EF 與 HP互相平分。 ∴AH∥PF ， BH∥PE 。 ， ∠B=∠EPA=60176。 【分析】 如圖，分別 延長 AE、 BF交于點(diǎn) H，連接 HD，過點(diǎn) G 作 MN∥AB 分別交 HA、 HD于點(diǎn) M、 N。 【考點(diǎn)】 動點(diǎn)問題。 綜上所述，正確的有 ①③④ 。 ， ∴△ABE∽△QBP 。 ∵ A B 4 B Q 5 4==15A E 3 P Q 34? ， ∴ AB BQ=AE PQ。故結(jié)論 ③ 正確。 ∴PF=PBsin∠PBF= 45 t。故結(jié)論 ② 錯誤。 ∴AE=AD ﹣ ED=5﹣ 2=3。故結(jié)論 ① 正確。 【分析】 根據(jù)圖（ 2）可知，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn) E時點(diǎn) Q到達(dá) 點(diǎn) C， ∵ 點(diǎn) P、 Q的運(yùn)動的速度都是 1cm/秒， ∴BC=BE=5 。 6. （ 2020湖北荊門 3分） 如圖（ 1）所示， E為矩形 ABCD的邊 AD上一點(diǎn)，動點(diǎn) P、 Q同時從點(diǎn) B出發(fā)，點(diǎn) P沿折線 BE﹣ ED﹣ D