函數(shù)近似計算的插值法插值問題的提出及l(fā)agrange插值-資料下載頁
2025-08-01 20:28本頁面
【導讀】插值問題的提出§在一系列離散點上的函數(shù)值.不經(jīng)濟且不利于在計算機上進行計算.計算f可通過計算P來近似代替。稱為插值節(jié)點點,,,2,1,0,nixi??個等分點上若給定如函數(shù)5],0[,sin?整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞.數(shù)都使用代數(shù)多項式或有理函數(shù).本章討論的就是代數(shù)插值多項式.雖然線性方程組推出的插值多項式存在且唯一,()nPx的簡單表達式.行研究與整理，提出了易于掌握和計算的統(tǒng)一公式，維的間是的多項式構(gòu)成的線性空所有次數(shù)不超過n1?根據(jù)線性空間的理論,設(shè)為上述維線性空間的一個基。線性表示可由次多項式且任意)(,),(),()(10xxxxPnnn????為插值基函數(shù)則稱)(,),(),(10xxxn????上的一組節(jié)點為區(qū)間如果],[210babxxxxan???????次多項式我們作一組。的插值基函數(shù)作如果用)()(,),(),(),(210xfyxlxlxlxln??
【正文】 ( )nnf x L x K x x? ?? ? ?1( ) ( ) ( ) ( )i n i n if x L x K x x? ?? ? ?根據(jù) Rolle定理 , 個零點上有至少在區(qū)間 1),()( ?? nbat?再由 Rolle定理 , 個零點上有至少在區(qū)間 nbat ),()(? ??依此類推 階導數(shù)為零的使得內(nèi)至少有一個點在區(qū)間 1)(,),( ?ntba ??0)()1( ?? ?? n)()1( tn??1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( )n n nnnf t L t K x t?? ? ??? ? ?由于 )!1()()( )1(???nfxK n ?)()()( 1 xxKxR nn ?? ? )()!1()(1)1(xnf nn???? ??所以 )()()( 截斷誤差的余項為插值多項式稱 xPxR nn( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnnf L K x? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?因此 )!1()()()1( ???? ? nxKf n ? 0?即 定理 1. 0( ) [ , ] 1 , ( ) ( ) [ , ], { } [ , ] ,[ , ] ,nniif x a b n L x f x a bn x a bx a b?????設(shè) 在 區(qū) 間 上 階 可 微 為 在上 的 次 插 值 多 項 式 插 值 節(jié) 點 為則 有()nRx ( 1 )1() ()( 1 ) !nnf xn? ???? ?,)()(01 ??? ??niin xxx?其中 .,),( xba 且依賴于??Lagrange型余項 |)(|m ax )1(1 xfM nbxan ???? ?|)(||)(|011 ???? ???niinn xxxN ?設(shè) |)(| xRn則 )()!1()(1)1(xnf nn???? ??11)!1(1???? nn NMn插值基函數(shù)的性質(zhì) ( 1 )10( 1 )00: ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )( 1 ) !( ) 1 , 1 ( 1 , 2 , ) ( ) 0,( ) 1( ) 1nnnni i niniiinniif x L x R xl x f f xnf x f i nlxflx???????????????? ? ? ?????插 值 基 函 數(shù) 的 一 個 重 要 性 質(zhì) :證 明取 則 及故Lagrange插值算法特點 amp。局限性 優(yōu)點： 公式簡潔 , 理論分析方便 ? 直觀； ? 對稱； ?容易編程上機等。 缺點： 基函數(shù)計算復雜，計算量大 ?每增加一個節(jié)點，插值多項式的所有系 數(shù)都得重算； ?計算量為 。 222nn?下一節(jié)提出的 Newton插值法 就是克服了上缺點。 See you later!
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