函數(shù)近似計算的插值法插值問題的提出及l(fā)agrange插值(更新版)
【正文】 )( 10 xxxxPn nn ??? ?線性無關顯然 )(,),(),( 10 xxx n??? ?)()()()( 1100 xaxaxaxP nnn ??? ???? ?的插值函數(shù)為某個函數(shù)如果 )()( xfxP n為插值基函數(shù)則稱 )(,),(),( 10 xxx n??? ?( ) 0 , 1 , 2 , ,n i ip x f i n??且滿足插值條件 : 為插值節(jié)點其中 nix i ,2,1,0, ??( ) 0 , 1 , 2 , ,iif x f i n??上的一組節(jié)點為區(qū)間如果 ],[210 babxxxxa n ?????? ?njxln j ,2,1,0),( ??次多項式我們作一組)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjj xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl?????????????????????? ??? njii ijixxxx0 )()( nj ,2,1,0 ??010( ) ( ) ( )()nniix x x x x xxx?? ? ? ????1 ()n x? ?令??? )(1 jn x?則 )())(())(( 1110 njjjjjjj xxxxxxxxxx ????? ?? ??n+1次多項式 )())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjj xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl???????????????????nj ,2,1,0 ??且 ()jilx10ijij??? ???nji ,2,1,0, ?? (4) 線性無關顯然 )(,),(),(),( 210 xlxlxlxl n?))(()(11jjnnxxxx??? ????從而 的插值基函數(shù)作如果用 )()(,),(),(),( 210 xfyxlxlxlxl n ??則的插值多項式為而 ,)()( xfxP n0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n np x a l x a l x a l x? ? ? ?為待定參數(shù)、其中 naaa ?10()nipx nifxf ii ,2,1,0)( ????令 即 ??njijj xla0)( nif i ,2,1,0 ???由 (4)式 ,可得 nifaii ,2,1,0 ???為記為項式為插值基函數(shù)的插值多以上在節(jié)點于是))((),1,0()(,),1,0()(,xLnixlnixxfynji ?? ???0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n np x L x l x f l x f l x f? ? ? ? ?)(xlj ??? ??? njii ijixxxx0 )()(其中 (6) (5) ( 5 ) ( ) ( )nL x y f x L a g ra n g e?稱 式 為 的 插 值 多 項 式( ) ( 0 , 1 , , )jl x i n n L a g ra n g e?稱 (6) 式 為 次 插 值 基 函 數(shù)0( ) ( ) ( )nn n k kkp x L x l x f?? ? ??其中 139。 插值問題的提出 167。 它的特例是 線性插值公式 和 拋物線插值
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