函數(shù)近似計(jì)算的插值法插值問(wèn)題的提出及l(fā)agrange插值(文件)
【正文】 n j jjL x l x f?? ?滿(mǎn)足 nixfxL iin ,1,0)()( ???],[ bax ??但 )()( xfxL n ? 不會(huì)完全成立 因此 , 插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差 , 那么我們?cè)鯓庸? 計(jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？ 1( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n in n nR x f x L x xR x f x L x K x x? ???? ? ?設(shè) 則 為 其 零 點(diǎn) ，可 設(shè) 1( ) ( ) ( ) ( )nnf x L x K x x? ???即 設(shè) 0?1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?若 引 入 輔 助 函 數(shù))( x?則有 0?的區(qū)分與注意 xt)( ix?且)()()( 1 inin xxKxR ??? ?0?即個(gè)零點(diǎn)上至少有在區(qū)間若令因此 ,2],[)(, ?? nbatxx i ?,0)( ?x?ni ,1,0 ??nix i ,2,1,0,0)( ????1( ) ( ) , ( ) , ( )nnL x x f x t???由 于 和 為 多 項(xiàng) 式 因 此 若 可 微 則 也 可 微)()()()()(11xtRtxRtnn???????也可令1( ) ( ) ( ) ( )nnf x L x K x x? ?? ? ?1( ) ( ) ( ) ( )i n i n if x L x K x x? ?? ? ?根據(jù) Rolle定理 , 個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 1),()( ?? nbat?再由 Rolle定理 , 個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 nbat ),()(? ??依此類(lèi)推 階導(dǎo)數(shù)為零的使得內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)在區(qū)間 1)(,),( ?ntba ??0)()1( ?? ?? n)()1( tn??1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( )n n nnnf t L t K x t?? ? ??? ? ?由于 )!1()()( )1(???nfxK n ?)()()( 1 xxKxR nn ?? ? )()!1()(1)1(xnf nn???? ??所以 )()()( 截?cái)嗾`差的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式稱(chēng) xPxR nn( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnnf L K x? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?因此 )!1()()()1( ???? ? nxKf n ? 0?即 定理 1. 0( ) [ , ] 1 , ( ) ( ) [ , ], { } [ , ] ,[ , ] ,nniif x a b n L x f x a bn x a bx a b?????設(shè) 在 區(qū) 間 上 階 可 微 為 在上 的 次 插 值 多 項(xiàng) 式 插 值 節(jié) 點(diǎn) 為則 有()nRx ( 1 )1() ()( 1 ) !nnf xn? ???? ?,)()(01 ??? ??niin xxx?其中 .,),( xba 且依賴(lài)于??Lagrange型余項(xiàng) |)(|m ax )1(1 xfM nbxan ???? ?|)(||)(|011 ???? ???nii
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