函數(shù)近似計算的插值法插值問題的提出及l(fā)agrange插值(已修改)
2025-08-21 20:28 本頁面
【正文】 插值問題的提出 167。第五章 函數(shù)近似計算的插值法 ()iiy f xxf?1. 在 工 程 實 際 問 題 中 , 某 些 變 量 之 間 的 函 數(shù) 關 系 是 存 在 的 , 但 通 常 不 能 用 式 子 表 示 , 只 能 由 實 驗 或 觀 測 得 到 在 一 系 列 離 散 點 上 的 函 數(shù) 值 . 2 ( )fx. 有 的 函 數(shù) 雖 然 有 表 達 式 , 但 比 較 復 雜 , 計 算 函 數(shù) 很 不 經(jīng) 濟 且 不 利 于 在 計 算 機 上 進 行 計 算 .( , ) ( ).iix f y f x?希 望 通 過 這 些 數(shù) 據(jù) 計 算 函 數(shù) 在 其 他指 定 點 處 的 近 似 值 或 獲 取 其 他 信 息, ( ) ( ) .p x f x這 兩 種 情 況 下 都 希 望 用 簡 單 的 函 數(shù) 來 逼 近 原 函 數(shù)插值問題的提出 插值 ：已知 [a, b]上的函數(shù) y=f(x)在 n+1個互異點處的函數(shù)值 : fn ?????? f2 f1 f0 f(x) xn ?????? x2 x1 x0 x 求簡單函數(shù) P(x)，使得 ( ) 0 , 1 , (), *iiP x f i n??計算 f(x)可通過計算 P(x)來近似代替。如下圖所示。 y x x0 x1 f0 f1 x2 f2 xi fi xi+1 fi+1 xn1 fn1 xn fn P(x) f(x) 一、插值問題 的數(shù)學提法 這就是插值問題 , (*)式為插值條件 , ( ) ( )P x f x稱 函 數(shù) 為 函 數(shù) 的 插 值 函 數(shù)則稱之為插值多項式為多項式函數(shù)如果 ,)( xP稱為插值節(jié)點點 ,2,1,0, nix i ??稱為插值區(qū)間區(qū)間 ],[ ba個等分點上若給定如函數(shù) 5],0[,sin ?xy ?其插值函數(shù)的圖象如圖 0 1 2 3 01sinx的的的xy 1 2 3 1sinx的的的xyxyy( ) ( )f x P x對 于 被 插 函 數(shù) 和 插 值 函 數(shù)ix在 節(jié) 點 處 的 函 數(shù) 值 必 然 相 等( ) ( )P x f x但 在 節(jié) 點 外 的 值 可 能 就 會 偏 離( ) ( )P x f x因 此 近 似 代 替 必 然 存 在 著 誤 差整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞 . 為了使插值函數(shù)更方便在計算機上運算 ,一般插值函 數(shù)都使用代數(shù)多項式或有理函數(shù) . 本章討論的就是 代數(shù)插值多項式 . 1. 滿足插值條件的多項式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若滿足插值條件的 P(x)存在 ,又如何構造出 P(x)。 即插值多項式的常用構造方法有哪些？ 3. 用 P(x)代替 f(x)的誤差估計，即截斷誤差的估計； 對于多項式插值，我們主要討論以下幾個問題 ： 4. 當插值節(jié)點無限加密時，插值函數(shù)是否收斂于 f(x)。 二、代數(shù)插值多項式的存在唯一性 ( ) [ , ]y f x a b?設 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 的 代 數(shù) 插 值 多 項 式 為20 1 2() nnnp x a a x a x a x? ? ? ? ?且滿足 ( ) 0 , 1 , 2 , , ,n i ip x f i n??.ia其 中 是 n+1 個 待 定 的 系 數(shù)0 1 2( ) , , , ,nnP x a a a a即 多 項 式 的 系 數(shù) 滿 足 線 性 方 程 組20 1 0 2 0 0 0nna a x a x
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