函數(shù)近似計(jì)算的插值法插值問題的提出及l(fā)agrange插值-wenkub
2022-08-21 20:28:51 本頁面
【正文】 n??計(jì)算 f(x)可通過計(jì)算 P(x)來近似代替。如下圖所示。 第五章 函數(shù)近似計(jì)算的插值法 若通過求解線性方程組 (1)來求解插值多項(xiàng)式 系數(shù) , 不但計(jì)算工作量較大 , 且難于得到 ia()nPx 的簡單表達(dá)式 . 一、 代數(shù)多項(xiàng)式的構(gòu)造 : ()nPx通過找插值基函數(shù)的方法 ,得到插值多項(xiàng)式 ! 十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家 Lagrange對以往的插值算法進(jìn) 行研究與整理，提出了易于掌握和計(jì)算的統(tǒng)一公式， 稱為 Lagrange插值公式 。 Lagrange插值公式的標(biāo)準(zhǔn)型公式 : 例 1: 15)225(,13)169(,12)144()( ??? fffxf 滿足已知.)175(,)( 的近似值并求插值多項(xiàng)式的二次作 fL a g r a n g exf解 : 2 2 5,1 6 9,1 4 4 210 ??? xxx設(shè))(0 xl插值基函數(shù)為的二次則 L a g r a n g exf )())(())((202021xxxxxxxx?????2025)225)(169( ??? xx)(1 xl))(())((210120xxxxxxxx?????1400)225)(144(???? xx)(2 xl))(())((120210xxxxxxxx?????4536)169)(144( ??? xx0 1 212 , 13 , 15f f f? ? ?插值多項(xiàng)式為的二次因此 L a g r a n g exf )(2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )L x f l x f l x f l x? ? ?且 )175(f)175(2L?)175(15)175(13)175(12 210 lll ???731 5 82 3 ?在例 1中 ,如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 169和 225,也可以作插值 多項(xiàng)式 ,即 1次 Lagrange插值多項(xiàng)式 ,有兩個(gè)插值基函數(shù) , 這種插值方法稱為 Lagrange線性插值 ,也可以在 n+1個(gè) 節(jié)點(diǎn)中取相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)作線性插值 Lagrange線性插值基函數(shù) (一次插值 )為 Lagrange線性插值多項(xiàng)式為 0 1 0 1, , ,x x f f節(jié) 點(diǎn) 函 數(shù) 值101xxxx???0()lx 1()lx 010xxxx???1 0 0 1 1( ) ( ) ( )L x l x f l x f??1001xx fxx???0110xx fxx???例 2. ).175(1 fL a g r a n g e 中的線性插值多項(xiàng)式求例用之間與在由于插值點(diǎn) 225169175 21 ??? xxx解 : 為插值節(jié)點(diǎn)與因此取 225169 21 ?? xx)(1 xl212xxxx???56225??? x)(2 xl121xxxx???56169?? xLagrange插值基函數(shù)為 )175(f5622517513????5616 917 515 ???712 8 52 1 ?所以 1 1 1 2 2( ) ( ) ( )L x f l x f l x?? 5622513 ???? x5616915 ??? xLagrange線性插值多項(xiàng)式為 二、插值余項(xiàng) 插值的從上節(jié)可知 L a g r a n g exfy )(, ?0( ) ( )n
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