【導(dǎo)讀】定積分的元素法是一種簡(jiǎn)單記憶定積分（??★1．求由曲線xy?所圍圖形的面積?！?．求在區(qū)間[0，?，（或D表達(dá)為Y-型：???????（若用X-型做，則第一象限內(nèi)所圍區(qū)域?★★★6．拋物線xy22?yx的面積為兩部分，求這兩部分的面積。y；又圖形關(guān)于x軸對(duì)稱，

　　

【正文】 tattdataV 310532 a?? ★★★ 10．求由圓 16)5( 22 ??? yx 繞 x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積。 思路 ：可以對(duì)照 )(xfy? 繞 y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積求法，見圖 610 x 0 y 1 圖 68 2y ax? 1 2D 1D 21yx?? 解 ：該體積是曲線 )91( ,)5(16 2 ????? yyx 及 x 軸所圍圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積的兩倍 ∴ ? ??? ??? ???????? 44 4 4 22591 2 162021)5(4)5(1622 duuduuudyyyVyu ??? 2160?? ★★★ 11．證明：由平面圖形 )(0 , 0 xfybxa ????? 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為 ?? ba dxxxfV )(2? 知識(shí)點(diǎn) ：元素法的應(yīng)用 證明 ：由平面圖形 )(0 , 0 xfybxa ????? 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成 的旋轉(zhuǎn)體體積，可看作 )(xfy? 繞y 軸旋轉(zhuǎn)所得的側(cè)面積在 bxa ?? 范圍內(nèi)疊加而成， dxxxfdV )(2?? ∴ dxxxfV ba?? )(2?。 ★★★ 12．曲線 )2)(1( xxy ??? 和 x 軸圍成一平面圖形，計(jì)算此平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。 思路 ：用 )(xfy? 繞 y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積求法 解 ：平面圖形為：曲線 )2)(1( xxy ??? ，（ 21 ??x ）和 x 軸圍成 ∴ 2)2)(1(221 ?? ???? ? dxxxxV ★★★★ 13．設(shè)拋物線 cbxaxy ??? 2 過原點(diǎn)，當(dāng) 10 ??x 時(shí)， 0?y ，又已知該拋物線與直線 1?x及 x 軸所圍圖形的面積為 3/1 ，求 cba , , ，使此圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一 周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 V 最小。 解 ：因?yàn)閽佄锞€ cbxaxy ??? 2 過原點(diǎn)，所以 0?c ，又當(dāng) 10 ??x 時(shí)， 0?y ，所以該拋物線與直線 1?x 及 x 軸所圍圖形的面積 3123)(10 2 ????? ? badxbxaxS，得 )1(32 ab ?? ， x y 0 2)5(16 ??? yx 5 1 圖 610 又此圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn) 體的體積 )325()(),( 2210 22babadxbxaxbaV ????? ? ?? ， 將 )1(32 ab ??代入可得 )27 )1(43 )1(5()( 22 aaaaaV ????? ? ， 0271275 4)( ????? aaV， 得到：45??a，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)駐點(diǎn)，∴可得滿足所給條件的 0 , 23 , 45 ???? cba。 ★★★★ 14．在由橢圓域 1422 ?? yx 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體上，以 y 軸為中心軸打一個(gè)圓孔，使剩下部分的體積恰好等于橢球體體積的 一半，求圓孔的直徑。 知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積 思路 ：打一個(gè)以 y 軸為中心軸的圓孔后，剩下的橢圓部分的體積 V 是 由 xoy 坐標(biāo)面上， 如圖所示的平面圖形 1D 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成立體體積的兩倍，見圖 614 解 ：設(shè)圓孔的半徑為 r 則在 xoy面上曲線 1422 ?? yx 和 rx? 的交點(diǎn)（ 212 , rr ?? ）， 平面圖形由 12DD? 減 2D 部分組成， 12DD? ：?????????????4101212222yxryr ； 2D ： ????? ?? ???? rx ryr 0 1212 22 ， ? 22212 12 21 12 , )41(22 rrVdyyV rr ????? ???? ?? ∴ 2/3221 )1(38 rVVV ???? ?，由條件 34)41(221 202 ?? ???? ? dyyV ， 可得： 333/22 16424/112 11 ???????? rrr ★★★ 15．求由柱體 222 ayx ?? 與 222 azx ?? 相貫部分的體積。 r 212 r? 1D 2D x y 圖 614 思路 ：由立體圖形的對(duì)稱性可知所求體積為第一象限內(nèi)體積 1V 的 8 倍，用垂直于 x 軸的平行截面截 1V ，可得截面面積 )(xA ，以此計(jì)算體積 1V ，見圖 615 解 ：垂直于 x 軸的平行截面截 1V ，得截面為長： 22 xay ?? ；寬： 22 xaz ?? 的長方形。 ∴ 22)( xaxA ?? ， 30 221 316)(88 adxxaVVa ???? ? 16． 將曲線21 xxy ??繞 x 軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體 ★★ (1)．求此旋轉(zhuǎn)體體積 ?V 解 ：∵函數(shù)21 xxy ??的定義域： 0?x ， ∴2)1(2 1()1( 020 220 2 ???? ????????????? ??xdxxxdxyV ★★★ (2)．記此旋轉(zhuǎn)體介于 0?x 與 ax? 之間的體積為 )(aV ，問 a 為何值時(shí)有 2/)( ??VaV 。 解 ：∵ )1 11(2)1(2 1( 2020 2 axdxyVaaa ??????? ? ???，要使 2/)( ??VaV ， 只要 14)1 11(22 ????? aa ?? ★★★ 17．將拋物線 axxy ?? 2 在橫坐標(biāo) 0 與 )0( ??acc 之間的弧段和 cx? 以及 x 軸所圍圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)，問 c 為何值時(shí)，所得旋轉(zhuǎn)體體積 V 等于弦 OP （ P 為拋物線與 cx? 的交點(diǎn)）繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得0 x y z 圖 615 x 錐體體積。 思路 ：拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，并且開口向上， 如圖 617 解 ： )325()( 32450 22caaccdxaxxV c ????? ? ?? ，經(jīng)（ 0， 0）和（ accc ?2 , ）的弦 OP 方程為： 230 22 )(31)()( accdxxacVxacyc ??????? ? ??錐 ， 45acVV ???錐 ★★★★ 18．計(jì)算半立方拋物線 32 )1(32 ?? xy 被拋物線 32 xy ? 截得的一段弧的長度。 知識(shí)點(diǎn) ：求平面弧長 思路 ：作 簡(jiǎn)圖 確定弧段的范圍，代入公式，見圖 618 a cP 0 x y 圖 617 解 ： 32 )1(32 ?? xy 和 32 xy ? 的交點(diǎn)為： 025623)1(32 2233 ??????? xxxxx 將 2?x 代入方程可知是方程的根，∴分解因式可得 0)122)(2(2562 2223 ???????? xxxxxx ，∴方程只有一解 2?x 交點(diǎn)：（ 36 , 2 ? ），由圖形關(guān)于 x 軸對(duì)稱∴ dxyS ? ??? 21 212，∵ 32 )1(32 ?? xy 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)： )1(23)1()1(22 2422 ????????? xyxyxyy ∴ ]1)25[(982123212 2/32121 2 ??????? ?? xdxyS ★★★ 19．證明雙紐線 ?2cos2 22 ar ? 的全長 L 可表示為 ??? 10 4124 xdxaL。 證明 ：根據(jù)雙扭線的對(duì)稱性， 14LL? ，其中 1L 是雙扭線在第一象限內(nèi)的一段弧長， ∴用極坐標(biāo)的弧長公式可得： ?? ????? 4/02224/0 22 2c o s2s in22c o s244 ?? ????? daadrrL ? ? ? ????????? ?4/0 4/0 10 222t a n22 22 1 11124s i nc o s s i nc o s242c o s124 ? ? ???? ???? dxxxxadada x? ?? 10 4124 xdxa 1 0 x y 32 xy ? 22 )1(32 ?? xy 圖 618 ★★★ 20．在擺線 )c o s1( , )s in( tayttax ???? 上，求分?jǐn)[線第一拱成 1： 3的點(diǎn)的坐標(biāo)。 知識(shí)點(diǎn) ：平面曲線的弧長 解 ：擺線第一拱的 t 的范圍：（ ?2 , 0 ），設(shè)在 0t 處分?jǐn)[線成 1： 3，則根據(jù)弧長參數(shù)公式，可得： 312/s i n2/s i n31c os12c os123120202 2202221000000?????????? ???? ?????? ???ttttttdttdttdttadttadtyxdtyxLL ∵ ] , 0[2/ ??t ， ∴ )2 , )2332(() , (32312/c o s12/c o s1312/s i n2/s i n000002000 aayxtttdtt dtttt???????????? ??? ★★★★ 21．求曲線 )(xyy? ，該曲線上兩點(diǎn)（ 0， 1）及 ) , ( yx 之間的弧長為 12 ?? ys 。 解 ：由條件：曲線上兩點(diǎn)（ 0， 1）及 ) , ( yx 之間的弧長 11 20 2 ????? ? ydxyL x， 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)： 111 222 ?????????? yyy yyy，根據(jù)第十二章的微分方程求解得到： ? ??????????????????? xceyycxyycxydydxydy 11ln11 2222∵ )(xyy? 經(jīng)過（ 0， 0），∴代入 求得xxeeyc 211 2???? ★★★ 22．設(shè)有一半徑為 R 的平面圓板，其密度為 ??? 34 2 ?? ， ? 為圓板上的點(diǎn)到圓板中心的距離，求該圓板的質(zhì)量 M 。 知識(shí)點(diǎn) ：元素法在物理上的應(yīng)用 思路 ：由于任一點(diǎn)的密度 ? 只和該點(diǎn)到圓板中心的距離有關(guān)，設(shè)平面圓板的方程為 R?? ，則在圓環(huán) r?? 至 drr??? 上的每一處都近似有 rrr 34)( 2 ??? 。 解 ： r?? 至 drr??? 的圓環(huán)質(zhì)量微元： rdrrrdM ?2)34( 2 ??? ， )1(2)34(2 30 23 ????? ? RRdrrrM R ?? ★★ 23．一物體按規(guī)律 3ctx? 作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物 體由 0?x 移至ax? 時(shí)，克服媒質(zhì)所做的功。 知識(shí)點(diǎn) ：元素法在物理上的應(yīng)用 解 ： ?? ??????????? 33 /0 6304222 279 , cactxa dttkcF d xWtkcxkFxVkVF ∴ 3/73/2727 akcW ? ★★★★ 24．用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇丸F釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵釘在第一次捶擊時(shí)將鐵釘擊入 1cm，若每次捶擊所作的功相等，問第 n 次捶擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？ 知識(shí)點(diǎn) ：元素法在物理上的應(yīng)用 解 ：設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?F ；鐵釘進(jìn)入木板的深度為 x ，則 ? ???? 101 2kk x dxWkxF， 則由每次捶擊所作的功相等的條件可得 12)(2 2122 121 ??????? ??? ? nnnnxxn xxkxxkk x dxW nn， ∵ 11?x ，∴ , 3 , 2 32 ?? xx 設(shè) kxk ? ，則由 111 122 1 ??????? ?? kxkxx kkk ∴由歸納法得證： 11 ?????? ? nnxxnx nnn （ cm） 25． 以每秒 a 的流量往半徑為 R 的半球形水池內(nèi)注水。 ★★★ (1)．求在池中水深 )0( Rhh ?? 時(shí)水面上升的速度 知識(shí)點(diǎn) ：相關(guān)變化率 解 ：設(shè)當(dāng)時(shí)間 t 時(shí)，池中水深 h ，半球形水池可看作 xoy 面上曲線 222 )( RRyx ??? 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成，則由時(shí)間 t 時(shí)注入水量等于水深為 h 的球冠體積可得： atdyyRydyRyR hh ????? ?? )2())(( 0 20 22 ?? ，該等式兩邊對(duì) t 求導(dǎo) )2()2( 22 hRh ahahhRh ???????? ?? ★★★ (2)．若再將滿池水全部抽出，至少需作功多少？ 知識(shí)點(diǎn) ：元素法在物理上的應(yīng)用 解 ：重設(shè) xoy 面上的方程： 22 yRx ?? ，則將球形水池中 y 至 dyy? 體 積的水抽出水面做功xdxygdW 2??? 4)( 40 22 Rgx d xxRgW R ???? ???? ? （其中 ? 是水的密度， g 是重力加速度） ★★★ 26．以等腰梯形閘門，梯形的上下底分別為 50m 和 30m，高為 20m，若閘門頂部高出水面 4m，求閘門一側(cè)所受的水的靜壓力。 知識(shí)點(diǎn)： 微元法在物理上的應(yīng)用 思路 ：以上底中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直向下建立