【導(dǎo)讀】把一枚硬幣拋擲一次；擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止；一個(gè)庫(kù)房在某一個(gè)時(shí)刻的庫(kù)存量.Ω={(正)，(反，正)，，?擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀(guān)察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，事件A＝“偶數(shù)點(diǎn)”，B＝“奇數(shù)點(diǎn)”，C＝“點(diǎn)數(shù)小于5”，D＝“小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，討論上述各事件間的關(guān)系.不可能同時(shí)不發(fā)生；兩個(gè)互不相容的事件不一定是對(duì)立事件，兩兩互不相容.如圖1－2，事件ABC＝Φ，A+B，AB與A－B互不相。C，由古典概率公式有。的樣本點(diǎn)數(shù)為＃25CB?兩把鑰匙都不能打開(kāi)門(mén)鎖.立事件概率比較方便.從中任取5枚，求總值超過(guò)壹角的概率.解設(shè)事件A表示“取出的5枚硬幣總值超過(guò)壹角”.F＝“無(wú)黑”，G＝“三次顏色全相同”，

　　

【正文】 x ) 為： F ( x ) =?????????????????.1,11022101,2211,022xx，xxxxxx，＜－，＜，＜ 計(jì)算 EX 與 DX . 解 依題意， X 的密度函數(shù) f ( x ) 為： ????? ?? ????.010,101,1)(其他，＜，＜，xxxxxf 解 EX＝ 0d)1(d)1( 0101 ?????? ?? xxxxxx 35 EX2=61d)1(d)1( 10 201 2 ?????? ? xxxxxx DX=61 50. 已知隨機(jī)變量 X 的期望 EX＝ μ， 方差 DX＝ σ2， 隨機(jī)變量Y = ???X, 求 EY 和 DY . 解 EY =?1( EX－ μ ) ＝ 0 DY = 2?DX =1 51. 隨機(jī)變量 Yn～ B ( n, 41) ,分別就 n=1, 2, 4, 8, 列出 Yn的概率分布表，并畫(huà)出概率函數(shù)圖 . 解 Y1 0 1 Y2 0 1 2 P 43 41 P 169 166 161 Y3 0 1 2 3 P 6427 6427 649 641 Y4 0 1 2 3 4 P 25681 256108 25654 25612 2561 Y8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 36 P 6561a 17496a 20412a 13608a 5670a 1512a 252a 24a a 其中 a = 1/65536 . 圖略 . 52. 設(shè)每次試驗(yàn)的成功率為 ，重復(fù)試驗(yàn) 4 次，失敗次數(shù)記為X，求 X 的概率分布 . 解 X 可以取值 0, 1, 2, 3, 4 .相應(yīng)概率為 P ( X＝ m ) ＝ mmmC 444 ?? ?? ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 計(jì)算結(jié)果列于下表 X 0 1 2 3 4 P 53. 設(shè)每次投籃的命中率為 ，求投籃 10 次恰有 3 次命中的概率 ； 至少命中 3 次的概率 . 解 記 X 為 10 次投籃中命中的次數(shù)，則 X～ B ( 10 , ) . ? ? 73310 ??? CXP ? ? ? ? ? ? ? ?21013 ???????? XPXPXPXP =1－ － 10 － 45 ≈ 54．?dāng)S四顆骰子，求 “ 6點(diǎn) ” 出現(xiàn)的平均次數(shù)及 “ 6 點(diǎn) ” 出現(xiàn)的最可能（即概率最大）次數(shù)及相應(yīng)概率 . 解 擲四 顆骰子，記 “ 6點(diǎn) ” 出現(xiàn)次數(shù)為 X，則 X～ B（ 4，61） . EX = np =32 由于 np + p = 65 ，其 X 的最可能值為［ np + p ］ =0 ? ? 1296625)65(0 4 ???XP 若計(jì)算 ? ? 12965001 ??XP ，顯 然 ? ? ? ? ,3,2 ?? xPxP ? ?4?xP 概率更小 . 37 55．已知隨機(jī)變量 X～ B（ n, p），并且 EX=3， DX=2，寫(xiě)出 X的全部可能取值， 并計(jì)算 ? ?8?XP . 解 根據(jù)二 項(xiàng)分布的期望與方差公式，有 ??? ?? 23npqnp 解方程，得 q=32， p=31， n=9 . X 的全部可能取值為 0, 1, 2, 3, ? , 9 . ? ? ? ?918 ???? XPXP = 1－ 9)31(≈ 56．隨機(jī)變量 X～ B（ n， p）， EX=， EX2=， 問(wèn) X取什么值的概率最大，其概率值為何 ? 解 由于 DX = EX2－ (EX)2=, EX=, 即 ??? ?? 解得 q = ， p = ， n = 4 . 由于 np+p=1，因此 X 取 0與取 1 的概率最大，其概率值為 ? ? ? ? 4 0 9 4 ????? XPXP 57．隨機(jī)變量 X～ B（ n, p）， Y=eaX，計(jì)算隨機(jī)變量 Y 的期望 EY和方差 DY . 解 隨機(jī)變量 Y 是 X 的函數(shù)，由于 X 是離散型隨機(jī)變量，因此Y 也是離散型隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式，有 　　?。　。? ???? ??? ???? ?????????? ??ninainiainniaininainiainniniiniinaiaiqpqpCiXPEYqpqpCqpCiXPEY02202200 0)e()e()e()e()e(ee 38 napnap qqDY 22 )e()e( ???? 58. 從一副撲克牌（ 52張）中每次抽取一張，連續(xù)抽取四次，隨機(jī)變量 X， Y 分別表示采用不放回抽樣及有放回抽樣取到的黑花色張數(shù)，分別求 X， Y 的概率分布以及期望和方差 . 解 X 服從超幾何分布， Y 服從二項(xiàng)分布 B（ 4，21） . )4,3,2,1,0(452 42626 ??? ? mCCCmXP mm｝｛)4,3,2,1,0()21()21( 44 ??? ? mCmYP mmm｝｛ 具體計(jì)算結(jié)果列于下面兩個(gè)表中 . X 0 1 2 3 4 P 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 Y 0 1 2 3 4 P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 1 2214171651485226522641252264211????????????????????n p qDYnpEYNnNNNNNnDXNNnEX 59. 隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 2 的泊松分布，查表寫(xiě)出概 率4,3,2,1,0, ?? mmXP ｝｛ 并與上題中的概率分布進(jìn)行比較 . X 0 1 2 3 4 P 60．從廢品率是 的 100000 件產(chǎn)品中，一次隨機(jī)抽取 500件，求廢品率不超過(guò) 的概率 . 39 解 設(shè) 500 件中廢品件數(shù)為 X，它是一個(gè)隨機(jī)變量且 X 服從N=100000， 1N =100， n=500 的超幾何分布 .由于 n 相對(duì)于 N 較小，因此它可以用二項(xiàng)分布 B（ 500， ）近似 .又因在二項(xiàng)分布 B（ 500， ）中， n=500 比較大，而 p= 非常小，因此該二項(xiàng)分布又可用泊松分布近似，其分布參數(shù) λ=np=. ?? ??????????50 9 9 9 9 8 !mmmPXP ｝｛ ，平均每件上有 個(gè)疵點(diǎn)，若規(guī) 定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò) 1 個(gè)為一等品，價(jià)值 10元；疵點(diǎn)數(shù)大于 1不多于 4為二等品，價(jià)值 8 元； 4 個(gè)以上者為廢品，求： （ 1）產(chǎn)品的廢品率； （ 2）產(chǎn)品價(jià)值的平均值 解 設(shè) X 為一件產(chǎn)品表面上的疵點(diǎn)數(shù)目， （ 1） ｝｛｝＞｛ 314 ??? XPXP ? ???? ?3 0 m mXP ｝｛ （ 2）設(shè)一件產(chǎn)品的產(chǎn)值為 Y 元，它可以取值為 0， 8， 10. )( 0 8 8 9 110418 10108800元｝｛｝＜｛｝｛｝｛｝｛??????????????????XPXPYPYPYPEY 62．設(shè)書(shū)籍中每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某 本書(shū)上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)與有 2 個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同 ，求任意檢驗(yàn) 4 頁(yè)，每頁(yè)上都沒(méi)有印刷錯(cuò)誤的概率 . 解 設(shè)一頁(yè)書(shū)上印刷錯(cuò)誤為 X， 4 頁(yè)中沒(méi)有印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)為Y，依題意， ｝｛｝｛ 21 ??? XPXP 即 ?? ?? ?? ? e!2e 2 40 解得 λ=2，即 X 服從 λ=2 的泊松分布 . 2e0 ???? ｝｛ XPp 顯然 Y～ B )e,4( 2? 84 e4 ???? pYP ｝｛ 63．每個(gè)糧倉(cāng)內(nèi)老鼠數(shù)目服從泊松分布，若已知一個(gè)糧倉(cāng)內(nèi)，有一只老鼠的概率為有兩只老鼠概 率的兩倍，求糧倉(cāng)內(nèi)無(wú)鼠的概率 . 解 設(shè) X 為糧倉(cāng)內(nèi)老鼠數(shù)目，依題意 ?? ?? ?? ?????e!22e2212｝｛｝｛ XPXP 解得 λ=1. 1e0 ??? ｝｛ XP 64．上題中條件不變，求 10個(gè)糧倉(cāng)中有老鼠的糧倉(cāng)不超過(guò)兩個(gè)的概率 . 解 接上題，設(shè) 10 個(gè)糧倉(cāng)中有老鼠的糧倉(cāng)數(shù)目為 Y，則 Y～ B（ 10， p），其中 ,e1010 1??????? ｝｛｝＞｛ XPXP 1e??q )45e80e36(e 2102 128 ??? ??????? ??? ｝｛｝｛｝｛｝｛ YPYPYPYP 65．設(shè)隨機(jī)變量 X 服從 ??3,2 上的均勻分布，計(jì)算 E(2X)， D（ 2X），2)2( XD . 解 EX=， DX= 1276)(,121 22 ??? EXDXEX E(2X)=5， D(2X)=4DX=31 ， ??? ??????3 2 442242225211d)(1616)4()2(xxEXEXEXDXXDXD 41 45150416)2(720150414457765211)(222242???????DXXDEXEXDX 66．隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求概率 P ｝｛｝｛｝｛｝｛ 7,1,3 ?????? XPXPXPX . 解 3 ( 3 ) 7PX Φ? ? ?｛ ｝ 5 ( 5 ) ( ) 4PX Φ Φ? ? ? ? ?｛ ｝ 1 (1) 3PX Φ? ? ?｛ ｝ 7 1 (7 ) 0PX Φ? ? ? ? ?｛ ｝ 67．隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，確定下列各概率等式中的a 的數(shù)值： （ 1） 。?? ｝｛ aXP ；（ 2） ? ? 。 ?? aXP （ 3） ? ? 。?? aXP （ 4） ? ? 。 ?? aXP 解 （ 1） ? ? ( ) 0 .9P X a aΦ? ? ?，查表得 a= （ 2） ? ? 2 ( ) 1 0 .9P X a aΦ? ? ? ?，得 Φ（ a） =， 查表得 a= （ 3） ? ? ( ) 0 .9 7 7 2 5P X a aΦ? ? ?，查表得 a =2 （ 4） ? ? )(2 ????? aaXP ，得 Φ (a)= ， 查表得 a = 68. 隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 )2,5( 2N ，求概率 ? ?85 ＜＜ XP , ? ?0?XP , ? ?25 ＜?XP . 解 ? ? ?????? ???????? ?? 2 552 588X5 ??＜＜P ( ) ( 0) Φ? ? ? P? ? ? ? ? ? 0 0 6 20521520 ...X ?????? ?? ? ? 1)1(212 525 ????????? ???? XPXP ＜ = 42 69．隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 ),( 2??N ，若 ? ? ?＜XP , ? ? ?＜XP ，計(jì)算 μ和 σ的值，求 ? ?6＞XP . 解 ? ? 975099 .XP ??????? ?? ? ??＜ ? ? , ??????? ????????? ??? ??? ?＜XP 查表得： ??????????????? 解以 μ和 σ為未知量的方程組，得 μ =， σ=2. ? ? ? ? )(1616 ?????? XPXP ＞ = 70 ．已知隨 機(jī)變量 )2,10( 2NX～ ， ? ? ?? cXP ＜ ，? ? 0230d .XP ?＜ ，確定 c 和 d 的值 . 解 ? ??????? ??? 22 1010 cXPcXP ＜＜ = 950122 .c ????????? 97502 .c ????????， 查表得 , ?? cc ? ? 0230210dd .XP ??????? ?? ?＜ 97702 d10 .??????? ?? 43 查表得 6d 22 d10 ???????? ? , 71．假定隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 ),( 2??N ，確定下列各概 率等式中 a 的數(shù)值： （ 1） ? ? 。??? ???? aXaP ＜＜ （ 2） ? ? 。??? ???? aXaP ＜＜ （ 3） ? ? 。??? ?