【正文】 以英語(yǔ)為第一外語(yǔ) ” . 依題意 P(A)＝ ， P(A )＝ ，P(B｜ A)＝ ， P(B｜ A )＝ . 由全概率公式有 P(B)＝ P(A)P(B｜ A)＋ P(A )P(B｜ A ) ＝ ＋ ＝ 37. A 地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個(gè)行政小區(qū)，其人口比為 9 : 7 : 4，據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在該地三個(gè)小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為 4‰ ， 2‰ ， 5‰ ，求 A地的甲種疾病的發(fā)病 率 . 解 設(shè)事件 A1， A2， A3分別表示從 A 地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)，易見(jiàn) A1， A2， A3兩兩互不相容，其和為 Ω.設(shè)事件 B 表示 “ 任選一名居民其患有甲種疾病 ” ，依題意： P(A1)＝ ， P(A2)＝ ， P(A3)＝ ， P(B｜ A1)＝ ， P(B｜ A2)＝ ， P(B｜ A3)＝ ＝ ??31 )|()(i ii ABPAP ＝ + + ＝ 38. 一個(gè)機(jī)床有三分之一的時(shí)間加工零件 A，其余時(shí)間加工零件 B，加工零件 A 時(shí)，停機(jī)的概率為 ，加工零件 B 時(shí)停機(jī)的概率為 ，求這個(gè)機(jī)床停機(jī)的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 機(jī)床加工零件 A” ，則 A 表示 “ 機(jī)床加工零件 B” ，設(shè)事件 B 表示 “ 機(jī)床停工 ” . )|()()|()()( ABPAPABPAPBP ?? 12 ????? 39. 有編號(hào)為 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 的 3 個(gè)口 袋，其中 Ⅰ 號(hào)袋內(nèi)裝有兩個(gè) 1號(hào)球， 1 個(gè) 2 號(hào)球與 1 個(gè) 3 號(hào)球， Ⅱ 號(hào)袋內(nèi)裝有兩個(gè) 1 號(hào)球和 1 個(gè) 3 號(hào)球， Ⅲ 號(hào)袋內(nèi)裝有 3 個(gè) 1號(hào)球與兩個(gè) 2 號(hào)球，現(xiàn)在先從 Ⅰ 號(hào)袋內(nèi)隨機(jī)地抽取一個(gè)球，放入與球上號(hào)數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，計(jì)算第二次取到幾號(hào)球的概率最大，為什么 ? 解 設(shè)事件 Ai 表示 “ 第一次取到 i 號(hào)球 ” ， Bi 表示第二次取到 i號(hào)球， i＝ 1， 2， ， A1， A2， A3構(gòu)成一個(gè)完全事件組 . 41)()(,21)( 321 ??? APAPAP 41)|()|(,21)|( 131211 ??? ABPABPABP 41)|()|(,21)|( 232221 ??? ABPABPABP 61)|(,31)|(,21)|( 333231 ??? ABPABPABP 應(yīng)用全概率公式 ???31 )|()()( i ijij ABPAPBP可以依次計(jì)算出4811)(,4813)(,21)( 321 ??? BPBPBP . 因此第二次取到 1 號(hào)球的概率最大 . 40. 接 37 題，用一種檢驗(yàn)方法，其效果是：對(duì)甲種疾病的漏查率為 5％ (即一個(gè)甲種疾病患者，經(jīng)此檢驗(yàn)法未查出的概率為 5％ )；對(duì)無(wú)甲種疾病的人用此檢驗(yàn)法誤診為甲種疾病患者的概率為 1％，在一次健康普查中，某人經(jīng)此檢驗(yàn)法查為患有甲種疾病，計(jì)算該人確實(shí)患有此病的概率 . 解 設(shè)事件 A表示 “ 受檢人患 有甲種疾病 ” ， B表示 “ 受檢人被查有甲種疾病 ” ，由 37題計(jì)算可知 P(A)＝ ，應(yīng)用貝葉斯公式 13 )|()()|()( )|()()|( ABPAPABPAP ABPAPBAP ?? 9 6 0 3 0 3 ?? ?? ＋ ? 41. 甲、乙、丙三個(gè)機(jī)床加工一批同一種零件，其各機(jī)床加工的零件數(shù)量之比為 5 : 3 : 2，各機(jī)床所加工的零件合格率，依次為 94％， 90％， 95％，現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個(gè)廢品，判斷它不是甲機(jī)床加工的概率 . 解 設(shè)事件 A1， A2， A3 分別 表示 “ 受檢零件為甲機(jī)床加工 ” ，“ 乙機(jī)床加工 ” ， “ 丙機(jī)床加工 ” ， B 表示 “ 廢品 ” ， 應(yīng)用貝葉斯公式有 ?? ?3 1 111 )|()()|()()|(i ii ABPAPABPAPBAP 7305020＋1030＋ ???? ?? .... 74)|(1)|( 11 ??? BAPBAP 42. 某人外出可以乘坐飛機(jī)、火車(chē)、輪船、汽車(chē) 4 種交通工具，其概率分別為 5％， 15％， 30％， 50％，乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為 100％， 70％， 60％與 90％，已知該旅行者誤期到達(dá)，求他是乘坐火車(chē)的概率 . 解 設(shè)事件 A1， A2， A3， A4分別表示外 出人 “ 乘坐飛機(jī) ” ， “ 乘坐火車(chē) ” ，“ 乘坐輪船 ” ，“ 乘坐汽車(chē) ” ， B表示 “ 外出人如期到達(dá) ” . ?? ?4 1 222 )|()()|()()|(i ii ABPAPABPAPBAP ??????? ?? = 14 43. 接 39 題，若第二次取到的是 1 號(hào)球，計(jì)算它恰好取自 Ⅰ 號(hào)袋的概率 . 解 39 題計(jì)算知 P(B1)＝21，應(yīng)用貝葉斯公式 2121 2121)()|()()|(111111 ????BPABPAPBAP 44. 一箱產(chǎn)品 100 件，其次品個(gè)數(shù)從 0 到 2 是等可能的，開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從中隨 機(jī)地抽取 10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已知該箱產(chǎn)品已通過(guò)驗(yàn)收，求其中確實(shí)沒(méi)有次品的概率 . 解 設(shè)事件 Ai表示一箱中有 i 件次品， i＝ 0, 1, 2. B表示 “ 抽取的 10 件中無(wú)次品 ” ，先計(jì)算 P ( B ) ? ????? ?2 0 101001098101001099 )1(31)|()()( i ii CCCCABPAPBP )(3 1)|( 0 ?? BPBAP 45. 設(shè)一條昆蟲(chóng)生產(chǎn) n 個(gè)卵的概率為 ?? ?? e!np nn n=0, 1, 2, … 其中 λ＞ 0，又設(shè)一個(gè)蟲(chóng)卵能孵化為昆蟲(chóng)的概率等于 p(0＜ p＜ 1). 如果卵的 孵化是相互獨(dú)立的，問(wèn)此蟲(chóng)的下一代有 k條蟲(chóng)的概率是多少 ? 解 設(shè)事件 An＝ “ 一個(gè)蟲(chóng)產(chǎn)下幾個(gè)卵 ” ， n＝ 0， 1， 2? .BR＝ “ 該蟲(chóng)下一代有 k 條蟲(chóng) ” ， k＝ 0， 1， ? .依題意 ?? ??? e!)( npAP nnn 15 ??? ??? ? nkqpCnkABPknkknnk 00)|( ＞ 其中 q=1－ p. 應(yīng)用全概率公式有 ?? ???? ?? kn nknn nknk ABPAPABPAPBP )|()()|()()( 0 ?????? ???lnknkn qpknk nn !)(! !e! ?????? ???knknk kn qkp !)( )(e!)( 由于 qknknknkn kn qkn q ???????? ?? ?????? e!)( )(!)( )(0，所以有 ?,2,1,0e)(ee!)()( ??? ?? kkpkpBP ppqkk ??? ?? 16 習(xí) 題 二 1. 已知隨機(jī)變量 X 服從 0－ 1 分布，并且 P{X≤0}＝ ，求 X的概率分布 . 解 X只取 0與 1兩個(gè)值， P{X＝ 0}＝ P{X≤ 0}－ P{X＜ 0}＝ ，P{X＝ 1}＝ 1－ P{X＝ 0}＝ . 2. 一箱產(chǎn)品 20 件，其中有 5 件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X 的概率分布 . 解 X 可以取 0, 1, 2 三個(gè)值 . 由古典概型公式可知 ? ? )2,1,0(220 2155 ??? ? mCCCmXP mm 依次計(jì)算得 X 的概率分布如 下表所示： X 0 1 2 P 3821 3815 382 3. 上題中若采用重復(fù)抽取，其他條件不變，設(shè)抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為 X 件，求隨機(jī)變量 X 的概率分布 . 解 X 的取值仍是 0, 1, 1/4，取到非優(yōu)質(zhì)品的概率是 3/4,且各次抽取結(jié)果互不影響，應(yīng)用伯努利公式有 ? ? 169430 2 ?????????XP ? ? 16643411 12 ??????????????? CXP ? ? 161412 2 ?????????XP 17 4. 第 2題中若改為重復(fù)抽取，每次一件，直到取得優(yōu)質(zhì)品為止，求抽取次數(shù) X 的概率分布 . 解 X 可以取 1, 2, … 可列個(gè)值 . 且事件 {X = n}表示抽取 n 次，前 n－ 1 次均未取到優(yōu)質(zhì)品且第 n 次取到優(yōu)質(zhì)品，其概率為4143 1??????? ?n. 因此 X 的概率分布為 ? ? ?????????? ? ,2,14341 1 nnXP n 5. 盒內(nèi)有 12 個(gè)乒乓球，其中 9 個(gè)是新球， 3 個(gè)為舊球，采取不放回抽取，每次一個(gè)直到取得新球?yàn)橹梗笙铝须S機(jī)變量的概率分布 . (1)抽取次數(shù) X； (2)取到的舊球個(gè)數(shù) Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值 . ? ? ? ? 4491191232431 ?????? XPXP ? ? 2 2 091091121233 ?????XP ? ? 2201991011121234 ??????XP (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值 . ? ? ? ? 4310 ???? XPYP ? ? ? ? 44921 ???? XPYP ? ? ? ? 2 2 0932 ???? XPYP ? ? ? ? 2 2 0143 ???? XPYP 6. 上題盒中球的組成不變，若一次取出 3 個(gè)，求取到的新球數(shù)目 X 的概率分布 . 18 解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值 . ? ? 2 2 010 31233 ??? CCXP ? ? 2 2 0271 312 2319 ??? CCCXP ? ? 2202082 312 1329 ??? C CCXP ? ? 2 2 0843 31239 ??? CCXP 7. 已知 P{X＝ n}＝ pn， n＝ 1, 2, 3, … , 求 p 的值 . 解 根據(jù) ? ?? ???1 1n nXP ＝, 有 ? ??? ??1 11 n n ppP 解上面關(guān)于 p 的方程，得 p＝ . 8. 已知 P{X＝ n}=pn， n＝ 2, 4, 6, … ， 求 p 的值 . 解 11 22642 ??????? ppppp 解方程，得 p= 2? /2 9. 已知 P{X＝ n}=, n=1, 2, … , 100, 求 c 的值 . 解 ?? ??????1001 5050)10021(1 n cc ＝ 解得 c＝ 1/5050 . 10. 如果 pn＝ ＿ 2， n=1, 2, … , 問(wèn)它是否能成為一個(gè)離散型概率分布，為什么 ? 解 ,11 21 ??????? nn n ncp由于級(jí)數(shù) ???1 21n n收斂 , 若記 ???1 21n n=a,只要取ac 1? , 則有 ???1n np =1, 且 pn＞ 0. 所以它可以是一個(gè)離散型概率分布 . 11. 隨機(jī)變量 X 只取 1, 2, 3共三個(gè)值，其取各個(gè)值的概率均大 19 于零且不相等并又組成等差數(shù)列，求 X 的概率分布 . 解 設(shè) P{X＝ 2}＝ a， P{X＝ 1}＝ a－ d, P{X=3}=a+d. 由概率函數(shù)的和為 1，可知 a=31, 但是 a－ d 與 a+d 均需大于零 , 因此｜ d｜＜31, X 的概率分布為 X 1 2 3 P 31 － d 31 31 +d 其中 d 應(yīng)滿(mǎn)足條件： 0＜｜ d｜＜31 12. 已知 ? ? ???? e!mcλmXP m,m =1, 2, … , 且 λ＞ 0, 求常數(shù) c. 解 ? ? ?? ????? ??? 11 e!1 mmm mcmXp ?? 由于 ?? ???? ??? 10 e!1! mmmm mm ??? , 所以有 ??? ??? ?????1 1)e1(e)1e(e!m m ccmc ????? 解得 ???? e1 1c 13. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開(kāi)始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人投籃的命中率分別為 及 ，求： (1)二人投籃總次數(shù) Z 的概率分布； (2)甲投籃次數(shù) X 的概率分布； (3)乙投籃次數(shù) Y 的概率分布 . 解 設(shè)事件 Ai表示在第 i 次投籃中甲投中， j 表示在第 j 次投籃中乙投中， i=1, 3, 5, ? , j=2, 4, 6,? ,且 A1, B2, A3, B4， ? 相互獨(dú)立 . (1) ? ? ? ?1222321112 ?????? kkk ABABApkZP ? ? ( ) 1?k 1 , 177。?? aXP （ 4） ? ? 。??? ????