【文章內(nèi)容簡介】 布 . 解 X 的取值仍是 0, 1, 1/4，取到非優(yōu)質(zhì)品的概率是 3/4,且各次抽取結(jié)果互不影響，應(yīng)用伯努利公式有 ? ? 169430 2 ?????????XP ? ? 16643411 12 ??????????????? CXP ? ? 161412 2 ?????????XP 17 4. 第 2題中若改為重復(fù)抽取，每次一件，直到取得優(yōu)質(zhì)品為止，求抽取次數(shù) X 的概率分布 . 解 X 可以取 1, 2, … 可列個值 . 且事件 {X = n}表示抽取 n 次，前 n－ 1 次均未取到優(yōu)質(zhì)品且第 n 次取到優(yōu)質(zhì)品，其概率為4143 1??????? ?n. 因此 X 的概率分布為 ? ? ?????????? ? ,2,14341 1 nnXP n 5. 盒內(nèi)有 12 個乒乓球，其中 9 個是新球， 3 個為舊球，采取不放回抽取，每次一個直到取得新球為止，求下列隨機變量的概率分布 . (1)抽取次數(shù) X； (2)取到的舊球個數(shù) Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值 . ? ? ? ? 4491191232431 ?????? XPXP ? ? 2 2 091091121233 ?????XP ? ? 2201991011121234 ??????XP (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值 . ? ? ? ? 4310 ???? XPYP ? ? ? ? 44921 ???? XPYP ? ? ? ? 2 2 0932 ???? XPYP ? ? ? ? 2 2 0143 ???? XPYP 6. 上題盒中球的組成不變，若一次取出 3 個，求取到的新球數(shù)目 X 的概率分布 . 18 解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值 . ? ? 2 2 010 31233 ??? CCXP ? ? 2 2 0271 312 2319 ??? CCCXP ? ? 2202082 312 1329 ??? C CCXP ? ? 2 2 0843 31239 ??? CCXP 7. 已知 P{X＝ n}＝ pn， n＝ 1, 2, 3, … , 求 p 的值 . 解 根據(jù) ? ?? ???1 1n nXP ＝, 有 ? ??? ??1 11 n n ppP 解上面關(guān)于 p 的方程，得 p＝ . 8. 已知 P{X＝ n}=pn， n＝ 2, 4, 6, … ， 求 p 的值 . 解 11 22642 ??????? ppppp 解方程，得 p= 2? /2 9. 已知 P{X＝ n}=, n=1, 2, … , 100, 求 c 的值 . 解 ?? ??????1001 5050)10021(1 n cc ＝ 解得 c＝ 1/5050 . 10. 如果 pn＝ ＿ 2， n=1, 2, … , 問它是否能成為一個離散型概率分布，為什么 ? 解 ,11 21 ??????? nn n ncp由于級數(shù) ???1 21n n收斂 , 若記 ???1 21n n=a,只要取ac 1? , 則有 ???1n np =1, 且 pn＞ 0. 所以它可以是一個離散型概率分布 . 11. 隨機變量 X 只取 1, 2, 3共三個值，其取各個值的概率均大 19 于零且不相等并又組成等差數(shù)列，求 X 的概率分布 . 解 設(shè) P{X＝ 2}＝ a， P{X＝ 1}＝ a－ d, P{X=3}=a+d. 由概率函數(shù)的和為 1，可知 a=31, 但是 a－ d 與 a+d 均需大于零 , 因此｜ d｜＜31, X 的概率分布為 X 1 2 3 P 31 － d 31 31 +d 其中 d 應(yīng)滿足條件： 0＜｜ d｜＜31 12. 已知 ? ? ???? e!mcλmXP m,m =1, 2, … , 且 λ＞ 0, 求常數(shù) c. 解 ? ? ?? ????? ??? 11 e!1 mmm mcmXp ?? 由于 ?? ???? ??? 10 e!1! mmmm mm ??? , 所以有 ??? ??? ?????1 1)e1(e)1e(e!m m ccmc ????? 解得 ???? e1 1c 13. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人投籃的命中率分別為 及 ，求： (1)二人投籃總次數(shù) Z 的概率分布； (2)甲投籃次數(shù) X 的概率分布； (3)乙投籃次數(shù) Y 的概率分布 . 解 設(shè)事件 Ai表示在第 i 次投籃中甲投中， j 表示在第 j 次投籃中乙投中， i=1, 3, 5, ? , j=2, 4, 6,? ,且 A1, B2, A3, B4， ? 相互獨立 . (1) ? ? ? ?1222321112 ?????? kkk ABABApkZP ? ? ( ) 1?k 20 = () 1?k k=1, 2, ? ? ? )(2 212223211 kkkk BABABApkZP ????? ? ? ( ) 1?k = k=1, 2, ? (2) ? ? ? ?12223211 ????? nnn ABABApnXP ? ? ?nnnn BABABAp 212223211 ???? ? )()( 1 ???? ?n ?,2, 1 ??? ? nn (3) ? ? )(0 1 ??? APYP ? ? ? ? ? ?122121121211 ??? ??? nnnnn ABABAPBABAPnYP ?? )()( 1 ?????? ?n ?，2, 1 ??? ? nn 14. 一條公共汽車路線的兩個站之間，有四個路口處設(shè)有信號燈，假定汽車經(jīng)過每個路口時遇到綠燈可順利通過，其概率為 ，遇到紅燈或黃燈則停止前進，其概率為 ，求汽車開出站后，在第一次停車之前已通過的路口信號燈數(shù)目 X 的概率分布 (不計其他因素停車 ). 解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X＝ 0 } ＝ P { X＝ 1 }＝ ＝ P { X＝ 2 } ＝ 0 .4＝ P { X＝ 3 } ＝ 0 .4＝ P { X＝ 4 } ＝ ＝ 15. ??? ?? .,0 ],[,s in)( 其他 ，baxxxf 問 f(x)是 否為一個概率密度函數(shù)，為什么 ?如果 (1) .π23 ,)3( 。π,0)2( 。2π,0 ?????? bababa π 解 在［ 0, 2π ］與［ 0, π］上， sinx≥ 0,但是 ,1dsinπ0 ?? xx 21 ,1dsin2π0 ?? xx 而在 ?????? π23,π 上 ,sinx ≤ (1)中的 a, b 可以使 f (x)是一個概率密度函數(shù) . 16. ????????.0,00e)( ,22xxcxxf cx ，＞ 其中 c＞ 0，問 f(x)是否為密度函數(shù)，為什么 ? 解 易見對任何 x∈ (－ ∞ , ＋ ∞) , f ( x ) ≥ 0，又 1de 20 2 ?? ??? xcx cx f(x)是一個密度函數(shù) . 17. ??? ?? .0 .2＜＜,2)( 其他， axaxxf 問 f ( x )是否為密度函數(shù)，若是，確定 a的值；若不是，說明理由 . 解 如果 f ( x )是密度函數(shù)，則 f ( x )≥ 0，因此 a≥ 0，但是，當(dāng) a≥ 0 時， 444|d2 222 ????? ? ?? axx aaaa 由于 xxf d)(?????不是 1，因此 f ( x )不是密度函數(shù) . 18. 設(shè)隨機變量 X～ f ( x ) ????? ????.,0,)1(π 2)( 2其他＜＜ xaxxf 確定常數(shù) a 的值 ， 如果 P { a ＜ x ＜ b } ＝ ， 求 b的值 . 解 )a rc t a n2π(2a rc t a nπ2d)1(π 2 2 axxx aa ????? ?? ???? 解方程 π2 ?????? aarctan－ 2π=1 22 得 a = 0 ? ? bxxxfbxP bb a rc t a nπ2|a rc t a nπ2d)(0 00 ????＜＜ 解關(guān)于 b 的方程： π2arctanb= 得 b=1. 19. 某種電子元件的壽命 X 是隨機變量，概率密度為 ????? ??.100,0,100100)( 2＜xxxxf 3 個這種元件串聯(lián)在一個線路中，計算這 3 個元件使用了150 小時后仍能使線路 正常工作的概率 . 解 串聯(lián)線路正常工作的充分必要條件是 3 個元件都能正常工作 . 而三個元件的壽命是三個相互獨立同分布的隨機變量，因此若用事件 A 表示 “ 線路正常工作 ” ，則 3])150([)( ＞XPAP ? ? ? 32d1 0 01 5 0 215 0 ?? ?? xxXP ＝＞ 278)( ?AP 20. 設(shè)隨機變量 X～ f ( x )， f ( x )＝ Ae－ |x|， 確定系數(shù) A； 計算P { |X | ≤ 1 }. 解 AxAxA xx 2de2de10|| ????? ?? ????? ? 解得 A＝ 21 ? ? ?? ??? ??? 10||11 dede211|| xxXP xx 1 ??? ? 21. 設(shè)隨機變量 Y 服從［ 0, 5］上的均勻分布，求關(guān)于 x的二次方程 4x2＋ 4xY+Y+2=0 有實數(shù)根的概率 . 解 4x2+4xY+Y+2=0. 有實根的充分必要條件是 23 △ ＝ b2－ 4ac =16Y2－ 16(Y+2)=16Y2－ 16Y－ 32≥ 0 設(shè)事件 P(A)為所求概率 .則 ? ? ? ? ? ?120321616)( 2 ????????? YPYPYYPAP = 22. 設(shè)隨機變量 X ～ f ( x )， ????? ??.,01||,1)( 2其他，＜xxcxf 確定常數(shù) c，計算 .21|| ?????? ?XP 解 π|a rc s i nd11 1 121 1 cxcxxc ????? ?? c =π1 31a rc s i n2d1 121|| 0212121 2 ???????????? ? ?? xxxXP 23. 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù) F ( x )為 ???????.1,1,10,0,0)(xxxAxxF ＜＜，＜ 確定系數(shù) A，計算 ? ? ?? XP ，求概率密度 f ( x ). 解 連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)， F (1)＝ F (1－ 0)，有 A＝ 1. ??????.,0,10,2 1)(其他＜＜ xxxf ? ? )0()( ????? FFXP 24 24. 求第 20 題中 X 的分布函數(shù) F ( x ) . 解 ? ? txXPxF tx de21)( ||??????? 當(dāng) t ≤ 0 時， xtx txF e21de21)( ??? ?? 當(dāng) t＞ 0 時， tttxF txttx de21de21de21)( 00|| ?????? ?????? xx ?? ????? e211)e1(2121 25. 函數(shù) (1+x2)－ 1可否為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，為什么 ? 解 不能是分布函數(shù)，因 F (－ ∞)＝ 1 ≠ 0. 26. 隨機變量 X～ f ( x )，并且)1(π)( 2xaxf ??,確定 a的值 ；求分布函數(shù) F ( x )；計算 ? ?1|| ＜XP . 解 axaxxa ??? ?? ?? ?????? a rc t a nπd)1(π1 2 因此 a =1 xx tttxF ???? ?? ?? a rc t a nπ1d)1(π 1)( 2 xarctanπ121 ?? ? ? ? ??? ?? ? 10 21 1 2 d)1(π 12d)1(π 11|| xxxxXP ＜ 21arctanπ2 10 ?? x 27. 隨機變量 X 的分布函數(shù) F ( x ) 為： ????????.2,02,1)( 2xxxAxF ，＞ 25 確定常數(shù) A 的值，計算 ? ?40 ?? XP . 解 由 F ( 2＋ 0 )＝ F ( 2 )，可得 4,041 ??? AA ? ? ? ? )0()4