【正文】 1 高等學(xué)校財(cái)經(jīng)類專業(yè)核心課程教材 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答 四川出版集團(tuán) 四川人民出版社 2020年成都 2 1 習(xí) 題 一 寫出下列事件的樣本空間： (1) 把一枚硬幣拋擲一次； (2) 把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次； (3) 擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止； (4) 一個(gè)庫房在某一個(gè)時(shí)刻的庫存量 (假定最大容量為 M). 解 (1) Ω ={正面，反面 }　△　　 {正，反 } (2) Ω ={(正、正 )， (正、反 )， (反、正 )， (反、反 )} (3) Ω ={(正 )， (反，正 )， (反，反，正 )，? } (4) Ω ={x； 0 ≤x≤ m} 擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，事件 A＝ “偶數(shù)點(diǎn) ”， B＝ “奇數(shù)點(diǎn) ”， C＝ “點(diǎn)數(shù)小于 5”， D＝ “小于 5 的偶數(shù)點(diǎn) ”，討論上述各事件間的關(guān)系 . 解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1 ????? DCBAΩ A 與 B 為對(duì)立事件，即 B＝ A ； B 與 D 互不相容； A? D， C? D. 3. 事件 Ai表示某個(gè)生產(chǎn)單位第 i 車間完成生產(chǎn)任務(wù)， i＝ 1， 2，3， B 表示至少有兩個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)， C 表示最多只有兩個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)，說明事件 B 及 B－ C的含義，并且用 Ai(i＝ 1， 2， 3)表示出來 . 解 B 表示最多有一個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)，即至少有兩個(gè)車間沒有完成生產(chǎn)任務(wù) . 313221 AAAAAAB ??? B－ C 表示三個(gè)車間都完成生產(chǎn)任務(wù) 321321321321 ＋＋＋ AAAAAAAAAAAAB ? 321321321321321321321 AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAC ??????? 321 AAACB ?? 4. 如圖 1－ 1，事件 A、 B、 C 都相容，圖 1－ 1 2 即 ABC≠Φ，把事件 A＋ B， A＋ B＋ C， AC＋ B， C－ AB 用一些互不相容事件的和表示出來 . 解 BAABA ??? CBABAACBA ????? CBABBAC ??? BCACBACBAABC ???? 5. 兩個(gè)事件互不相容與兩個(gè)事件對(duì)立的區(qū)別何在，舉例說明 . 解 兩個(gè)對(duì)立的事件一定互不相容，它們不可能同時(shí)發(fā)生，也不可能同時(shí)不發(fā)生；兩個(gè)互不相容的事件不一定是對(duì)立事件，它們只是不可能同時(shí)發(fā)生，但不一定同時(shí)不發(fā)生 . 在本書第 6頁例 2 中 A 與 D 是對(duì)立事件， C 與 D 是互不相容事件 . 6. 三個(gè)事件 A、 B、 C 的積是不可能事件，即 ABC＝ Φ，問這三個(gè)事件是否一定互不相容 ?畫圖說明 . 解 不一定 . A、 B、 C 三個(gè)事件互不相容是指它們中任何兩個(gè)事件均互不相容，即兩兩互不相容 .如圖 1－ 2，事件 ABC＝ Φ，但是 A 與 B 相容 . 7. 事件 A 與 B 相容，記 C＝ AB， D＝A+B， F＝ A－ B. 說明事件 A、 C、D、 F 的關(guān)系 . 解 由于 AB? A? A+B， A－ B? A? A+B， AB 與 A－ B 互不相容，且 A＝ AB＋ (A－ B). 因此有 A＝ C+F， C 與 F 互不相容， D? A? F， A? C. 8. 袋內(nèi)裝有 5 個(gè)白球， 3 個(gè)黑球，從中一次任取兩個(gè)，求取到的兩個(gè)球顏色不同的概率 . 解 記事件 A 表示 “ 取到的兩個(gè)球顏色不同 ” . 則有利于事件A 的樣本點(diǎn)數(shù)目＃ A＝ 1315CC .而組成試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)為＃ Ω＝235?C ，由古典概率公式有 圖 1－ 2 3 P(A)＝ ??A 281528 1315 ?CCC (其中＃ A，＃ Ω分別表示有利于 A 的樣本點(diǎn)數(shù)目與樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)，余下同 ) 9. 計(jì)算上題中取到的兩個(gè)球中有黑球的概率 . 解 設(shè)事件 B表示 “ 取到的兩個(gè)球中有黑球 ” 則有利于事件 B的樣本點(diǎn)數(shù)為＃ 25CB? . 1491)(1)( 2825 ???? CCBPBP － 10. 拋擲一枚硬幣，連續(xù) 3次，求既有正面又有反面出現(xiàn)的概率 . 解 設(shè)事件 A表示 “ 三次中既有正面又有反 面出現(xiàn) ” , 則 A 表示三次均為正面或三次均為反面出現(xiàn) . 而拋擲三次硬幣共有 8種不同的等可能結(jié)果，即 ＃ Ω＝ 8， 因此 438211)(1)( ???????? AAPAP ＃ 11. 10 把鑰匙中有 3 把能打開一個(gè)門鎖，今任取兩把，求能打開門鎖的概率 . 解 設(shè)事件 A表示 “ 門鎖能被打開 ” . 則事件 A 發(fā)生就是取的兩把鑰匙都不能打開門鎖 . 15811)(1)( 21027 ??????? CCAAPAP －＃＃ 從 9 題－ 11 題解中可以看到，有些時(shí)候計(jì)算所求事件的對(duì)立事 件概率比較方便 . 12. 一副撲克牌有 52張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取 4張，計(jì)算下列事件的概率： (1)四張花色各異； (2)四張中只有兩種花色 . 4 解 設(shè)事件 A表示 “ 四張花色各異 ” ； B 表示 “ 四張中只有兩種花色 ” . ，113113113113452 CCCCA，　CΩ ?? ） ＋ 2132131133131224 CCCCCCB （? 105013)( 4524 .CΩAAP ??? 30006 0 4 8＋7 4 3 66)( 452 　）（ .CΩBBP ??? 13. 口袋內(nèi)裝有 2 個(gè)伍分、 3 個(gè)貳分， 5 個(gè)壹分的硬幣共 10 枚，從中任取 5 枚，求總值超過壹角的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 取出的 5 枚硬幣總值超過壹角 ” . )＋(＋C＝ 25231533123822510 CCCCCCACΩ 　，　? 50252126)( .ΩAAP ＝＝＃＃＝ 14. 袋中有紅、黃、黑色球各一個(gè)，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A＝ “ 三次都是紅球 ” 　△　　 “ 全紅 ” ， B＝ “ 全白 ” ， C＝ “ 全黑 ” ， D＝ “ 無紅 ” ， E＝ “ 無白 ” ， F＝ “ 無黑 ” ， G＝ “ 三次顏色全相同 ” ， H＝ “ 顏色全不相同 ” ， I＝ “ 顏色不全相同 ” . 解 ＃ Ω＝ 33＝ 27，＃ A＝＃ B＝＃ C＝ 1， ＃ D＝ ＃ E＝＃ F＝ 23＝ 8， ＃ G＝＃ A＋＃ B＋＃ C＝ 3， ＃ H＝ 3！ ＝ 6，＃ I＝＃ Ω－＃ G＝ 24 271)()()( ??? CPBPAP 5 278)()()( ??? FPEPDP 982724)(,92276)(,91273)( ?????? IPHPGP 15. 一間宿舍內(nèi)住有 6 位同學(xué)，求他們中有 4 個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 有 4 個(gè)人的生日在同一個(gè)月份 ” . ＃ Ω＝ 126，＃ A＝ 211246 11CC 0 0 7 1 7 8 0)( 6 ＝＝ΩAAP ? 16. 事件 A 與 B 互不相容，計(jì)算 P )( BA? . 解 由于 A 與 B 互不相容，有 AB＝ Φ， P(AB)＝ 0 .1)(1)()( ????? ABPABPBAP 17. 設(shè)事件 B? A， 求證 P(B)≥P(A） . 證 ∵ B? A ∴ P(BA)＝ P(B) P(A) ∵ P(BA)≥ 0 ∴ P(B)≥ P(A) 18. 已知 P(A)＝ a， P(B)＝ b， ab≠0 (b＞ )， P(A－ B)＝ ，求 P(B+A)， P(BA)， P(B ＋ A ). 解 由于 A－ B 與 AB 互不相容，且 A＝ (AB)＋ AB， 因此有 P(AB)＝ P(A)P(AB)＝ P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB)＝ ＋ b P(BA)＝ P(B)P(AB)＝ P(B ＋ A )＝ 1P(AB)＝ 19. 50個(gè)產(chǎn)品中有 46個(gè)合格品與 4個(gè)廢品，從中一次抽取三個(gè) ，計(jì)算取到廢品的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 取到廢品 ” ，則 A 表示沒有取到廢品，有利于事件 A 的樣本點(diǎn)數(shù)目為＃ A ＝ 346C ，因此 6 P(A)＝ 1P(A )＝ 13503461 CCΩA －＝＃＃ ＝ 20. 已知事件 B? A， P(A)＝ lnb ≠ 0， P(B)＝ lna，求 a的取值范圍 . 解 因 B? A，故 P(B)≥ P(A)，即 lna≥ lnb,? a≥ b，又因 P(A)＞ 0， P(B)≤ 1，可得 b＞ 1， a≤ e，綜上分析 a 的取值范圍是： 1＜ b≤ a≤ e 21. 設(shè)事件 A 與 B 的概率都大于 0，比較概率 P(A)， P(AB)， P(A+B)， P(A)+P(B)的大小 (用不等號(hào)把它們連接起來 ). 解 由于對(duì)任何事件 A， B，均有 AB? A? A+B 且 P(A+B)＝ P(A)＋ P(B)P(AB)， P(AB)≥ 0，因此有 P(AB)≤ P(A)≤ P(A+B)≤ P(A)＋ P(B) 22. 一個(gè)教室中有 100 名學(xué)生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率 (設(shè)一年以 365 天計(jì)算 ). 解 設(shè)事件 A表示 “ 100名學(xué)生的生日都不在元旦 ” ，則有利于A 的樣本點(diǎn)數(shù)目為＃ A＝ 364100，而樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為 ＃ Ω＝ 365100，所求概率為 10010036536411)(1)( ??????? AAPAP = 23. 從 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有兩只手套配成一副的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 取出的四只手套至少有兩只配成一副 ” ，則 A 表示 “ 四只手套中任何兩只均不能配成一副 ” . 21080)( 410 1212121245 ??? C CCCCCΩAAP )(1)( ??? APAP 24. 某單位有 92％的職工訂閱報(bào)紙， 93％的人訂閱雜志，在不訂閱報(bào)紙的人中仍有 85％的職工訂閱雜志，從單位中任找 7 一名職工求下列事件的概率： (1)該職工至少訂閱一種報(bào)紙或期刊； (2)該職工不 訂閱雜志，但是訂閱報(bào)紙 . 解 設(shè)事件 A表示 “ 任找的一名職工訂閱報(bào)紙 ” ， B表示 “ 訂閱雜志 ” ，依題意 P(A)＝ ， P(B)＝ ， P(B｜ A )＝ P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(A B)＝ P(A)＋ P(A )P(B｜ A ) ＝ ＋ ＝ P(AB )＝ P(A＋ B)P(B)＝ － ＝ 25. 分析學(xué)生們的數(shù)學(xué)與外語兩科考試成績，抽查一名學(xué)生，記事件 A 表示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀， B 表示外語成績優(yōu)秀，若 P(A)＝ P(B)＝ ， P(AB)＝ ，求 P(A｜ B)， P(B｜ A)， P(A＋ B). 解 P(A｜ B)＝ )( )( ??BP ABP P(B｜ A)＝ )( )( ?APABP P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B)P(AB)＝ 26. 設(shè) A、 B 是 兩個(gè)隨機(jī)事件 . 0＜ P(A)＜ 1， 0＜ P(B)＜ 1， P(A｜ B)＋ P(A ｜ B )＝ 1. 求證 P(AB)＝ P(A)P(B). 證 ∵ P ( A｜ B )＋ P (A ｜ B )＝ 1且 P ( A｜ B )＋ P(A ｜ B )＝ 1 ∴ P ( A｜ B )＝ P (A｜ B ) )(1 )()()( )()( )( BP ABPAPBP BAPBP ABP ???? P(AB)［ 1P(B)］＝ P( B)［ P( A)P( AB)］ 整理可得 P(AB)＝ P( A) P( B) 27. 設(shè) A 與 B 獨(dú)立 ， P( A)＝ ， P( A＋ B)＝ ， 求概率 P (B). 解 P( A＋ B)＝ P(A)＋ P(A B)＝ P( A)＋ P(A ) P( B) ? ＝ ＋ ( B ) ? P( B )＝ 28. 設(shè)事件 A 與 B的概率都大于 0，如果 A 與 B 獨(dú)立，問它們8 是否互不相容，為什么 ? 解 因 P ( A )， P ( B )均大于 0，又因 A 與 B 獨(dú)立，因此 P ( AB )＝ P ( A ) P ( B )＞ 0，故 A 與 B 不可能互不相容 . 29. 某種電子元件的壽命在 1000 小時(shí)以上的概率為 ，求 3個(gè)這種元件使用 1000 小時(shí)后，最多只壞了一個(gè)的概率 . 解 設(shè)事件 Ai 表示 “ 使用 1000 小時(shí)后第 i 個(gè)元件沒有壞 ” ， i＝ 1， 2， 3，顯然 A1， A2， A3 相互獨(dú)立，事件 A表示 “ 三個(gè)元件中最多只壞了一個(gè) ” ，則 A＝ A1A2A3＋ 1A A2A3