【正文】 ＋ A1 2A A3＋A1A2 3A ， 上面等式右邊是四個(gè)兩兩互不相容事件的和，且 P(A1)＝ P(A2)＝ P(A3)＝ P( A)＝ ? ? ? ? )()(3)( 12131 APAPAP ? ＝ ＋ 30 .2 ＝ 30. 加工某種零件，需經(jīng)過(guò)三道工序，假定第一、二、三道工序的廢 品率分別為 ， ， ，并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無(wú)關(guān)，求零件的合格率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 任取一個(gè)零件為合格品 ” ，依題意 A 表示三道工序都合格 . P(A)＝ (1－ )(1－ )(1－ )＝ 31. 某單位電話總機(jī)的占線率為 ，其中某車間分機(jī)的占線率為 ，假定二者獨(dú)立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第 m 次才能打通的概率 (m 為任何正整數(shù) ). 解 設(shè)事件 Ai表示 “ 第 i 次能打通 ” ， i＝ 1， 2， … ， m，則 P(A1)＝ (1－ )(1－ )＝ P(A2)＝ ＝ P(Am)＝ － 1 32. 一間宿舍中有 4 位同學(xué)的眼鏡都放在書(shū)架上，去上課時(shí)，每人任取一副眼鏡，求每個(gè)人都沒(méi)有拿到自己眼鏡的概率 . 9 解 設(shè) Ai表示 “ 第 i 人拿到自己眼鏡 ”， i＝ 1,2,3,4. P ( Ai )＝41，設(shè)事件 B表示 “ 每個(gè)人都沒(méi)有拿到自己的眼鏡 ” . 顯然 B 則表示 “ 至少有一人拿到自己的眼鏡 ” . 且 B ＝ A1＋ A2＋ A3＋ A4. P(B )＝ P(A1＋ A2＋ A3＋ A4) ＝ ? ? ? ???? ?? ??41 41 41 4321 )()()()(i ji kji kjiiii AAAAPAAAPAAPAp ＜ ＜＜ P(AiAj)? P(Ai)P(Aj｜ Ai) = )41(1213141 ???? ji＜ P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜ Ai)P(Ak｜ AiAj) =413121 ? 241（ 1≤ i＜ j＜ k≤ 4） P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A4｜ A1A2A3) =2411213141 ???? 85241241121414)( 3424 ???????? CCBP 83)(1)( ??? BPBP 33. 在 1， 2， … ， 3000 這 3000 個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，設(shè) Am＝ “該數(shù)可以被 m 整除 ”， m＝ 2， 3，求概率 P(A2A3)， P(A2＋ A3)，P(A2－ A3). 解 依題意 P(A2)＝ 21 ， P(A3)＝ 31 P(A2A3)＝ P(A6)＝ 61 P(A2＋ A3)＝ P(A2)＋ P(A3)－ P(A2A3) ＝ 32613121 ??? 10 P(A2－ A3)＝ P(A2)－ P(A2A3)＝316121 ?? 34. 甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃練習(xí)，每人一次，如果他們的 命中率分別為 ， ， ，計(jì)算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中 . 解 設(shè)事件 A、 B、 C 分別表示 “ 甲投中 ” 、“ 乙投中 ” 、“ 丙投中 ” ，顯然 A、 B、 C相互獨(dú)立 .設(shè) Ai表示 “ 三人中有 i人投中 ” ， i＝ 0,1,2,3,依題意， )()()() ()( 0 CPBPAPCBAPAP ?? ? ? P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =? P(A2)=P(ABC )＋ P(AB C)＋ P(A BC) =＋ ＋ ? (1) P(A1)＝ 1－ P(A0)－ P(A2)－ P(A3) ＝ 1－ － － ＝ (2) P(A0＋ A1)＝ P(A0)＋ P(A1)＝ ＋ ＝ (3) P(A＋ B＋ C)＝ P( 0A )＝ 1－ P (A0)＝ 35. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開(kāi)始，假定他們的命中率分別為 及 ，問(wèn)誰(shuí)先投中的概率較大，為什么 ? 解 設(shè)事件 A2n1B2n 分別表示 “ 甲在第 2n－ 1 次投中 ” 與 “ 乙在第 2n 次投中 ” ，顯然 A1， B2， A3， B4， … 相互獨(dú)立 .設(shè)事件 A表示 “ 甲先投中 ” . ????? )()()()( 543213211 ABABAPABAPAPAP ?????? ＋＋＋ 0 . 40 . 5 )( 0 . 60 . 40 . 50 . 60 . 4 2 ??? 計(jì)算得知 P(A)＞ ， P(A )＜ ，因此甲先投中的概率較 11 大 . 36. 某高校新生中，北京考生占 30％，京外其他各地考生占 70％，已知在北京學(xué)生中，以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的占 80％，而京外學(xué)生以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的占 95％，今從全校新生中任選一名學(xué)生，求該生以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的概率 . 解 設(shè)事件 A表示 “ 任選一名學(xué)生為北 京考生 ” ， B表示 “ 任選一名學(xué)生，以英語(yǔ)為第一外語(yǔ) ” . 依題意 P(A)＝ ， P(A )＝ ，P(B｜ A)＝ ， P(B｜ A )＝ . 由全概率公式有 P(B)＝ P(A)P(B｜ A)＋ P(A )P(B｜ A ) ＝ ＋ ＝ 37. A 地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個(gè)行政小區(qū)，其人口比為 9 : 7 : 4，據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在該地三個(gè)小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為 4‰ ， 2‰ ， 5‰ ，求 A地的甲種疾病的發(fā)病 率 . 解 設(shè)事件 A1， A2， A3分別表示從 A 地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)，易見(jiàn) A1， A2， A3兩兩互不相容，其和為 Ω.設(shè)事件 B 表示 “ 任選一名居民其患有甲種疾病 ” ，依題意： P(A1)＝ ， P(A2)＝ ， P(A3)＝ ， P(B｜ A1)＝ ， P(B｜ A2)＝ ， P(B｜ A3)＝ ＝ ??31 )|()(i ii ABPAP ＝ + + ＝ 38. 一個(gè)機(jī)床有三分之一的時(shí)間加工零件 A，其余時(shí)間加工零件 B，加工零件 A 時(shí)，停機(jī)的概率為 ，加工零件 B 時(shí)停機(jī)的概率為 ，求這個(gè)機(jī)床停機(jī)的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 機(jī)床加工零件 A” ，則 A 表示 “ 機(jī)床加工零件 B” ，設(shè)事件 B 表示 “ 機(jī)床停工 ” . )|()()|()()( ABPAPABPAPBP ?? 12 ????? 39. 有編號(hào)為 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 的 3 個(gè)口 袋，其中 Ⅰ 號(hào)袋內(nèi)裝有兩個(gè) 1號(hào)球， 1 個(gè) 2 號(hào)球與 1 個(gè) 3 號(hào)球， Ⅱ 號(hào)袋內(nèi)裝有兩個(gè) 1 號(hào)球和 1 個(gè) 3 號(hào)球， Ⅲ 號(hào)袋內(nèi)裝有 3 個(gè) 1號(hào)球與兩個(gè) 2 號(hào)球，現(xiàn)在先從 Ⅰ 號(hào)袋內(nèi)隨機(jī)地抽取一個(gè)球，放入與球上號(hào)數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，計(jì)算第二次取到幾號(hào)球的概率最大，為什么 ? 解 設(shè)事件 Ai 表示 “ 第一次取到 i 號(hào)球 ” ， Bi 表示第二次取到 i號(hào)球， i＝ 1， 2， ， A1， A2， A3構(gòu)成一個(gè)完全事件組 . 41)()(,21)( 321 ??? APAPAP 41)|()|(,21)|( 131211 ??? ABPABPABP 41)|()|(,21)|( 232221 ??? ABPABPABP 61)|(,31)|(,21)|( 333231 ??? ABPABPABP 應(yīng)用全概率公式 ???31 )|()()( i ijij ABPAPBP可以依次計(jì)算出4811)(,4813)(,21)( 321 ??? BPBPBP . 因此第二次取到 1 號(hào)球的概率最大 . 40. 接 37 題，用一種檢驗(yàn)方法，其效果是：對(duì)甲種疾病的漏查率為 5％ (即一個(gè)甲種疾病患者，經(jīng)此檢驗(yàn)法未查出的概率為 5％ )；對(duì)無(wú)甲種疾病的人用此檢驗(yàn)法誤診為甲種疾病患者的概率為 1％，在一次健康普查中，某人經(jīng)此檢驗(yàn)法查為患有甲種疾病，計(jì)算該人確實(shí)患有此病的概率 . 解 設(shè)事件 A表示 “ 受檢人患 有甲種疾病 ” ， B表示 “ 受檢人被查有甲種疾病 ” ，由 37題計(jì)算可知 P(A)＝ ，應(yīng)用貝葉斯公式 13 )|()()|()( )|()()|( ABPAPABPAP ABPAPBAP ?? 9 6 0 3 0 3 ?? ?? ＋ ? 41. 甲、乙、丙三個(gè)機(jī)床加工一批同一種零件，其各機(jī)床加工的零件數(shù)量之比為 5 : 3 : 2，各機(jī)床所加工的零件合格率，依次為 94％， 90％， 95％，現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個(gè)廢品，判斷它不是甲機(jī)床加工的概率 . 解 設(shè)事件 A1， A2， A3 分別 表示 “ 受檢零件為甲機(jī)床加工 ” ，“ 乙機(jī)床加工 ” ， “ 丙機(jī)床加工 ” ， B 表示 “ 廢品 ” ， 應(yīng)用貝葉斯公式有 ?? ?3 1 111 )|()()|()()|(i ii ABPAPABPAPBAP 7305020＋1030＋ ???? ?? .... 74)|(1)|( 11 ??? BAPBAP 42. 某人外出可以乘坐飛機(jī)、火車、輪船、汽車 4 種交通工具，其概率分別為 5％， 15％， 30％， 50％，乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為 100％， 70％， 60％與 90％，已知該旅行者誤期到達(dá)，求他是乘坐火車的概率 . 解 設(shè)事件 A1， A2， A3， A4分別表示外 出人 “ 乘坐飛機(jī) ” ， “ 乘坐火車 ” ，“ 乘坐輪船 ” ，“ 乘坐汽車 ” ， B表示 “ 外出人如期到達(dá) ” . ?? ?4 1 222 )|()()|()()|(i ii ABPAPABPAPBAP ??????? ?? = 14 43. 接 39 題，若第二次取到的是 1 號(hào)球，計(jì)算它恰好取自 Ⅰ 號(hào)袋的概率 . 解 39 題計(jì)算知 P(B1)＝21，應(yīng)用貝葉斯公式 2121 2121)()|()()|(111111 ????BPABPAPBAP 44. 一箱產(chǎn)品 100 件，其次品個(gè)數(shù)從 0 到 2 是等可能的，開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從中隨 機(jī)地抽取 10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已知該箱產(chǎn)品已通過(guò)驗(yàn)收，求其中確實(shí)沒(méi)有次品的概率 . 解 設(shè)事件 Ai表示一箱中有 i 件次品， i＝ 0, 1, 2. B表示 “ 抽取的 10 件中無(wú)次品 ” ，先計(jì)算 P ( B ) ? ????? ?2 0 101001098101001099 )1(31)|()()( i ii CCCCABPAPBP )(3 1)|( 0 ?? BPBAP 45. 設(shè)一條昆蟲(chóng)生產(chǎn) n 個(gè)卵的概率為 ?? ?? e!np nn n=0, 1, 2, … 其中 λ＞ 0，又設(shè)一個(gè)蟲(chóng)卵能孵化為昆蟲(chóng)的概率等于 p(0＜ p＜ 1). 如果卵的 孵化是相互獨(dú)立的，問(wèn)此蟲(chóng)的下一代有 k條蟲(chóng)的概率是多少 ? 解 設(shè)事件 An＝ “ 一個(gè)蟲(chóng)產(chǎn)下幾個(gè)卵 ” ， n＝ 0， 1， 2? .BR＝ “ 該蟲(chóng)下一代有 k 條蟲(chóng) ” ， k＝ 0， 1， ? .依題意 ?? ??? e!)( npAP nnn 15 ??? ??? ? nkqpCnkABPknkknnk 00)|( ＞ 其中 q=1－ p. 應(yīng)用全概率公式有 ?? ???? ?? kn nknn nknk ABPAPABPAPBP )|()()|()()( 0 ?????? ???lnknkn qpknk nn !)(! !e! ?????? ???knknk kn qkp !)( )(e!)( 由于 qknknknkn kn qkn q ???????? ?? ?????? e!)( )(!)( )(0，所以有 ?,2,1,0e)(ee!)()( ??? ?? kkpkpBP ppqkk ??? ?? 16 習(xí) 題 二 1. 已知隨機(jī)變量 X 服從 0－ 1 分布，并且 P{X≤0}＝ ，求 X的概率分布 . 解 X只取 0與 1兩個(gè)值， P{X＝ 0}＝ P{X≤ 0}－ P{X＜ 0}＝ ，P{X＝ 1}＝ 1－ P{X＝ 0}＝ . 2. 一箱產(chǎn)品 20 件，其中有 5 件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X 的概率分布 . 解 X 可以取 0, 1, 2 三個(gè)值 . 由古典概型公式可知 ? ? )2,1,0(220 2155 ??? ? mCCCmXP mm 依次計(jì)算得 X 的概率分布如 下表所示： X 0 1 2 P 3821 3815 382 3. 上題中若采用重復(fù)抽取，其他條件不變，設(shè)抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為 X 件，求隨機(jī)變量 X 的概率分