【正文】 0， ax+b 均服從均勻分布 . 34. 隨機(jī)變量 X 服從［ 0 , 2? ］上的均勻分布 Y=cosX , 求 Y的概率密度 fY ( y ). 28 解 y=cosx 在［ 0, 2π］上單調(diào)，在 (0 , 1)上， h ( y ) = x =arccosy h′ ( y ) = 211y?? , fx ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π . 因此 ????? ??.0,10,1π 2)( 2其他，＜＜ yyyfY 35. 隨機(jī)變量 X 服從 (0 , 1)上的均勻分布， Y=ex , Z =｜ lnX｜，分別求隨機(jī)變量 Y 與 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) . 解 y = ex 在 (0 , 1) 內(nèi) 單 調(diào) , x=lny 可 導(dǎo) ， 且x′y = y1 , fX ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有 ?????.,0,e1,1)(其他　＜＜ yyyfY 在 (0 , 1)內(nèi) lnx ＜ 0｜ lnx｜ =lnx 單調(diào)，且 x = e z? ， x′z＝－ e z? ，因此有 ??? ??? ? .,0 ,0e)( 其他 ＜＜， zzf zz 36. 隨機(jī)變量 X～ f ( x ) ， ??? ???0,0 0,e)( xxxfx ＞ Y = X , Z = X2 , 分別計(jì)算隨機(jī)變量 Y 與 Z 的概率密度fy ( y ) 與 fZ ( z ) . 解 當(dāng) x ＞ 0 時(shí)， y = x 單調(diào)，其反函數(shù)為 x = y2 , x′y = 2y 29 ????? ???.0,0 ,0,e2)(2yyyyfyY ＞ 當(dāng) x ＞ 0 時(shí) z＝ x2 也是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為x = z , x′ z=z21 ??????? ?.0,00e2 1)(z，zzzf zz＞ X～ f ( x )，當(dāng) x ≥ 0時(shí) ,)1( 2)( 2xxf ?? ?, Y=arctanX , Z = X1,分別計(jì)算隨機(jī)變量 Y 與 Z 的概率密度 fY ( y ) 與fz ( z ) . 解 由于 y = arctanx 是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù) x=tany , x′ y=sec2y在 ??????? 2π,0內(nèi)恒不為零，因此，當(dāng) 0 ＜ y ＜π2時(shí)， π2)t a n1(π 2s e c)( 22 ??? yyyf Y 即 Y 服從區(qū)間 (0 , 2π)上的均勻分布 . z = x1 在 x＞ 0時(shí)也是 x的單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù) x=z1 , x′ z =21z?. 因此當(dāng) z＞ 0 時(shí)， )1(π2])1(1[π21)(222 zzzzfz ????? ????????0,00,)1(π 2)( 2zzzzfz＞ 30 即 Z = X1 與 X 同分布 . 38. 一個質(zhì)點(diǎn)在半徑為 R，圓心在原點(diǎn)的圓的上半圓周上隨機(jī)游動 . 求該質(zhì)點(diǎn)橫坐標(biāo) X 的密度函數(shù) fX ( x ) . 解 如圖，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圓周位置為 M，弧 MA 的長記為 L，顯然L 是一個連續(xù)型隨機(jī)變量， L 服從［ 0， πR］上的均勻分布 . ????? ???.,0π0,π1)(其他，RlRlfL M 點(diǎn)的橫坐標(biāo) X 也是一個隨機(jī)變量，它是弧長 L 的函數(shù)，且 X ＝ Rcosθ ＝ Rcos RL 函數(shù) x = Rcosl / R 是 l 的單調(diào)函數(shù) ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函數(shù)為 l ＝ RarccosRx 22 xRRlx ???? 當(dāng)－ R ＜ x ＜ R 時(shí)， L′x ≠ 0，此時(shí)有 2222 π1π1)( xRRxR Rxf X ?????? 當(dāng) x ≤ － R 或 x ≥ R 時(shí)， fX ( x ) ＝ 0 . 39. 計(jì)算第 2 , 3 , 5 , 6 , 11 各題中的隨機(jī)變量的期望 . 解 根據(jù)第 2 題中所求出的 X 概率分布，有 2138223815138210 ???????EX 亦可從 X 服從超幾何分布，直接計(jì)算 2120521 ???? NNnEX 圖 21 31 在第 3 題中21161216611690 ???????EX 亦可從 X 服從二項(xiàng)分布 (2，41)，直接用期望公式計(jì)算： 21412 ???? npEX 在第 5 題中 (1) 22020220934492431 ?????????EX (2) 22020220924491430 ?????????EY 在第 6 題中， 2 2 08432 2 01 0 822 2 02712 2 010 ?????????EX 在第 11 題中， ?????? ??????????? ??? d313312d311EX 31 ｜＜d＜｜0 d22 ?? 40. P { X = n } =nc, n=1, 2, 3, 4, 5, 確定 C 的值并計(jì)算 EX. 解 16013754325 1 ????????? ccccc 13760?C 1 3 73 0 055 1 ??? ?? ? CnEX n 41. 隨機(jī)變量 X 只?。?1, 0, 1 三個值，且相應(yīng)概率的比為 1 : 2 : 3，計(jì)算 EX. 解 設(shè) P { X ＝－ 1 } ＝ a，則 P { X ＝ 0 } ＝ 2a, P { X＝ 1 } ＝ 3a ( a＞ 0 ) ，因 a + 2a + 3a = 1 , 故 a ＝ 1/6 31631620611 ????????EX 42. 隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 0－ 1分布，通過計(jì)算說明 EX232 是否等于 ( EX )2 ? 解 EX＝ P { X＝ 1 } ＝ ， ( EX )2 ＝ EX2＝ 1＝ ＞ ( EX )2 43. 隨機(jī)變量 X～ f ( x ) ， f ( x ) ＝ | x |，計(jì)算 EXn， n 為正整數(shù) . 解 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， )(xfxn 是奇函數(shù)，且積分 xx xn de0 ???收斂，因此 || ??? ????? xxEX xnn 當(dāng) n 為偶數(shù) 時(shí)， xxxxEX xnxnn 0|| ???????? ???? !)1(de0 nnxx xn ?????? ??? 44. 隨機(jī)變量 X～ f ( x ) ， ????? ? ???.,0,21,2,10,)(其他＜＜ xxxxxf 計(jì)算 EXn(n 為正整數(shù) ) . 解 xxxxxxxfxEX nnnn d)2(dd)( 2110 1 ? ?????? ????? 1)2(21)12(1221 21 ???????? ?? nn nnn )2()1( 22 2 ?? ?? ? nn n 45. 隨機(jī)變量 X～ f ( x ) ， ??? ??? .,0 ,10,)( 其他 xcxxf b b,c 均大于 0，問 EX 可否等于 1，為什么 ? 解 11dd)( 10 ?????? ???? b cxcxxxf b 而 其他 其他 33 2d10 1 ???? ? b cxcxEX b 由于方程組 ???????????1211bcbc 無解，因此 EX 不能等于 1. 46. 計(jì)算第 6， 40 各題中 X 的方差 DX . 解 在第 6 題中，從第 39 題計(jì)算知 EX＝49， 2201 2 1 5220 8492202084220272 ??????EX DX＝ EX2－ ( EX )2≈ 在第 40 題中，已計(jì)算出 EX＝13730 , cnEX nn 155 15 1 22 ?????? ?? =13790 DX=EX2(EX)2≈ 47. 計(jì)算第 23， 29 各題中隨機(jī)變量的期望和方差 . 解 在第 23 題中，由于 f ( x ) ＝x21（ 0＜ x＜ 1） ,因此 31d210 ??? xxxEX 51d2 2102 ??? xxxEX DX = EX2－ ( EX )2 =454 34 在第 29 題中，由于 f ( x ) ＝2π2x ( 0＜ x＜ π ) , 因此 π32dπ2π0 22 ??? xxEX 2πdπ2 2π0 232 ??? xxEX DX＝ EX2－ ( EX )2=18π2 48. 計(jì)算第 34 題中隨機(jī)變量 Y 的期望和方差 . 解 EY=π2d1π 2d)( 10 2 ?? ??? ???? yyyyyyf Y EY2=21d1π 210 22 ?? ? yyy DY=222 π2 8ππ421 ??? 49. 已知隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) F ( x ) 為： F ( x ) =?????????????????.1,11022101,2211,022xx，xxxxxx，＜－，＜，＜ 計(jì)算 EX 與 DX . 解 依題意， X 的密度函數(shù) f ( x ) 為： ????? ?? ????.010,101,1)(其他，＜，＜，xxxxxf 解 EX＝ 0d)1(d)1( 0101 ?????? ?? xxxxxx 35 EX2=61d)1(d)1( 10 201 2 ?????? ? xxxxxx DX=61 50. 已知隨機(jī)變量 X 的期望 EX＝ μ， 方差 DX＝ σ2， 隨機(jī)變量Y = ???X, 求 EY 和 DY . 解 EY =?1( EX－ μ ) ＝ 0 DY = 2?DX =1 51. 隨機(jī)變量 Yn～ B ( n, 41) ,分別就 n=1, 2, 4, 8, 列出 Yn的概率分布表，并畫出概率函數(shù)圖 . 解 Y1 0 1 Y2 0 1 2 P 43 41 P 169 166 161 Y3 0 1 2 3 P 6427 6427 649 641 Y4 0 1 2 3 4 P 25681 256108 25654 25612 2561 Y8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 36 P 6561a 17496a 20412a 13608a 5670a 1512a 252a 24a a 其中 a = 1/65536 . 圖略 . 52. 設(shè)每次試驗(yàn)的成功率為 ，重復(fù)試驗(yàn) 4 次，失敗次數(shù)記為X，求 X 的概率分布 . 解 X 可以取值 0, 1, 2, 3, 4 .相應(yīng)概率為 P ( X＝ m ) ＝ mmmC 444 ?? ?? ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 計(jì)算結(jié)果列于下表 X 0 1 2 3 4 P 53. 設(shè)每次投籃的命中率為 ，求投籃 10 次恰有 3 次命中的概率 ； 至少命中 3 次的概率 . 解 記 X 為 10 次投籃中命中的次數(shù)，則 X～ B ( 10 , ) . ? ? 73310 ??? CXP ? ? ? ? ? ? ? ?21013 ???????? XPXPXPXP =1－ － 10 － 45 ≈ 54．?dāng)S四顆骰子，求 “ 6點(diǎn) ” 出現(xiàn)的平均次數(shù)及 “ 6 點(diǎn) ” 出現(xiàn)的最可能（即概率最大）次數(shù)及相應(yīng)概率 . 解 擲四 顆骰子，記 “ 6點(diǎn) ” 出現(xiàn)次數(shù)為 X，則 X～ B（ 4，61） . EX = np =32 由于 np + p = 65 ，其 X 的最可能值為［ np + p ］ =0 ? ? 1296625)65(0 4 ???XP 若計(jì)算 ? ? 12965001 ??XP ，顯 然 ? ? ? ? ,3,2 ?? xPxP ? ?4?xP 概率更小 . 37 55．已知隨機(jī)變量 X～ B（ n, p），并且 EX=3， DX=2，寫出 X的全部可能取值， 并計(jì)算 ? ?8?XP . 解 根據(jù)二 項(xiàng)分布的期望與方差公式，有 ??? ?? 23npqnp 解方程，得 q=32， p=31， n=9 . X 的全部可能取值為 0, 1, 2, 3, ? , 9 . ? ? ? ?918 ???? XPXP = 1－ 9)31(≈ 56．隨機(jī)變量 X～ B（ n， p