【正文】 1 題解中可以看到，有些時(shí)候計(jì)算所求事件的對(duì)立事 件概率比較方便 . 12. 一副撲克牌有 52張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取 4張，計(jì)算下列事件的概率： (1)四張花色各異； (2)四張中只有兩種花色 . 4 解 設(shè)事件 A表示 “ 四張花色各異 ” ； B 表示 “ 四張中只有兩種花色 ” . ，113113113113452 CCCCA，　CΩ ?? ） ＋ 2132131133131224 CCCCCCB （? 105013)( 4524 .CΩAAP ??? 30006 0 4 8＋7 4 3 66)( 452 ?。?.CΩBBP ??? 13. 口袋內(nèi)裝有 2 個(gè)伍分、 3 個(gè)貳分， 5 個(gè)壹分的硬幣共 10 枚，從中任取 5 枚，求總值超過(guò)壹角的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 取出的 5 枚硬幣總值超過(guò)壹角 ” . )＋(＋C＝ 25231533123822510 CCCCCCACΩ 　，　? 50252126)( .ΩAAP ＝＝＃＃＝ 14. 袋中有紅、黃、黑色球各一個(gè)，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A＝ “ 三次都是紅球 ” 　△　　 “ 全紅 ” ， B＝ “ 全白 ” ， C＝ “ 全黑 ” ， D＝ “ 無(wú)紅 ” ， E＝ “ 無(wú)白 ” ， F＝ “ 無(wú)黑 ” ， G＝ “ 三次顏色全相同 ” ， H＝ “ 顏色全不相同 ” ， I＝ “ 顏色不全相同 ” . 解 ＃ Ω＝ 33＝ 27，＃ A＝＃ B＝＃ C＝ 1， ＃ D＝ ＃ E＝＃ F＝ 23＝ 8， ＃ G＝＃ A＋＃ B＋＃ C＝ 3， ＃ H＝ 3！ ＝ 6，＃ I＝＃ Ω－＃ G＝ 24 271)()()( ??? CPBPAP 5 278)()()( ??? FPEPDP 982724)(,92276)(,91273)( ?????? IPHPGP 15. 一間宿舍內(nèi)住有 6 位同學(xué)，求他們中有 4 個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 有 4 個(gè)人的生日在同一個(gè)月份 ” . ＃ Ω＝ 126，＃ A＝ 211246 11CC 0 0 7 1 7 8 0)( 6 ＝＝ΩAAP ? 16. 事件 A 與 B 互不相容，計(jì)算 P )( BA? . 解 由于 A 與 B 互不相容，有 AB＝ Φ， P(AB)＝ 0 .1)(1)()( ????? ABPABPBAP 17. 設(shè)事件 B? A， 求證 P(B)≥P(A） . 證 ∵ B? A ∴ P(BA)＝ P(B) P(A) ∵ P(BA)≥ 0 ∴ P(B)≥ P(A) 18. 已知 P(A)＝ a， P(B)＝ b， ab≠0 (b＞ )， P(A－ B)＝ ，求 P(B+A)， P(BA)， P(B ＋ A ). 解 由于 A－ B 與 AB 互不相容，且 A＝ (AB)＋ AB， 因此有 P(AB)＝ P(A)P(AB)＝ P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB)＝ ＋ b P(BA)＝ P(B)P(AB)＝ P(B ＋ A )＝ 1P(AB)＝ 19. 50個(gè)產(chǎn)品中有 46個(gè)合格品與 4個(gè)廢品，從中一次抽取三個(gè) ，計(jì)算取到廢品的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 取到廢品 ” ，則 A 表示沒(méi)有取到廢品，有利于事件 A 的樣本點(diǎn)數(shù)目為＃ A ＝ 346C ，因此 6 P(A)＝ 1P(A )＝ 13503461 CCΩA －＝＃＃ ＝ 20. 已知事件 B? A， P(A)＝ lnb ≠ 0， P(B)＝ lna，求 a的取值范圍 . 解 因 B? A，故 P(B)≥ P(A)，即 lna≥ lnb,? a≥ b，又因 P(A)＞ 0， P(B)≤ 1，可得 b＞ 1， a≤ e，綜上分析 a 的取值范圍是： 1＜ b≤ a≤ e 21. 設(shè)事件 A 與 B 的概率都大于 0，比較概率 P(A)， P(AB)， P(A+B)， P(A)+P(B)的大小 (用不等號(hào)把它們連接起來(lái) ). 解 由于對(duì)任何事件 A， B，均有 AB? A? A+B 且 P(A+B)＝ P(A)＋ P(B)P(AB)， P(AB)≥ 0，因此有 P(AB)≤ P(A)≤ P(A+B)≤ P(A)＋ P(B) 22. 一個(gè)教室中有 100 名學(xué)生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率 (設(shè)一年以 365 天計(jì)算 ). 解 設(shè)事件 A表示 “ 100名學(xué)生的生日都不在元旦 ” ，則有利于A 的樣本點(diǎn)數(shù)目為＃ A＝ 364100，而樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為 ＃ Ω＝ 365100，所求概率為 10010036536411)(1)( ??????? AAPAP = 23. 從 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有兩只手套配成一副的概率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 取出的四只手套至少有兩只配成一副 ” ，則 A 表示 “ 四只手套中任何兩只均不能配成一副 ” . 21080)( 410 1212121245 ??? C CCCCCΩAAP )(1)( ??? APAP 24. 某單位有 92％的職工訂閱報(bào)紙， 93％的人訂閱雜志，在不訂閱報(bào)紙的人中仍有 85％的職工訂閱雜志，從單位中任找 7 一名職工求下列事件的概率： (1)該職工至少訂閱一種報(bào)紙或期刊； (2)該職工不 訂閱雜志，但是訂閱報(bào)紙 . 解 設(shè)事件 A表示 “ 任找的一名職工訂閱報(bào)紙 ” ， B表示 “ 訂閱雜志 ” ，依題意 P(A)＝ ， P(B)＝ ， P(B｜ A )＝ P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(A B)＝ P(A)＋ P(A )P(B｜ A ) ＝ ＋ ＝ P(AB )＝ P(A＋ B)P(B)＝ － ＝ 25. 分析學(xué)生們的數(shù)學(xué)與外語(yǔ)兩科考試成績(jī)，抽查一名學(xué)生，記事件 A 表示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀， B 表示外語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀，若 P(A)＝ P(B)＝ ， P(AB)＝ ，求 P(A｜ B)， P(B｜ A)， P(A＋ B). 解 P(A｜ B)＝ )( )( ??BP ABP P(B｜ A)＝ )( )( ?APABP P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B)P(AB)＝ 26. 設(shè) A、 B 是 兩個(gè)隨機(jī)事件 . 0＜ P(A)＜ 1， 0＜ P(B)＜ 1， P(A｜ B)＋ P(A ｜ B )＝ 1. 求證 P(AB)＝ P(A)P(B). 證 ∵ P ( A｜ B )＋ P (A ｜ B )＝ 1且 P ( A｜ B )＋ P(A ｜ B )＝ 1 ∴ P ( A｜ B )＝ P (A｜ B ) )(1 )()()( )()( )( BP ABPAPBP BAPBP ABP ???? P(AB)［ 1P(B)］＝ P( B)［ P( A)P( AB)］ 整理可得 P(AB)＝ P( A) P( B) 27. 設(shè) A 與 B 獨(dú)立 ， P( A)＝ ， P( A＋ B)＝ ， 求概率 P (B). 解 P( A＋ B)＝ P(A)＋ P(A B)＝ P( A)＋ P(A ) P( B) ? ＝ ＋ ( B ) ? P( B )＝ 28. 設(shè)事件 A 與 B的概率都大于 0，如果 A 與 B 獨(dú)立，問(wèn)它們8 是否互不相容，為什么 ? 解 因 P ( A )， P ( B )均大于 0，又因 A 與 B 獨(dú)立，因此 P ( AB )＝ P ( A ) P ( B )＞ 0，故 A 與 B 不可能互不相容 . 29. 某種電子元件的壽命在 1000 小時(shí)以上的概率為 ，求 3個(gè)這種元件使用 1000 小時(shí)后，最多只壞了一個(gè)的概率 . 解 設(shè)事件 Ai 表示 “ 使用 1000 小時(shí)后第 i 個(gè)元件沒(méi)有壞 ” ， i＝ 1， 2， 3，顯然 A1， A2， A3 相互獨(dú)立，事件 A表示 “ 三個(gè)元件中最多只壞了一個(gè) ” ，則 A＝ A1A2A3＋ 1A A2A3＋ A1 2A A3＋A1A2 3A ， 上面等式右邊是四個(gè)兩兩互不相容事件的和，且 P(A1)＝ P(A2)＝ P(A3)＝ P( A)＝ ? ? ? ? )()(3)( 12131 APAPAP ? ＝ ＋ 30 .2 ＝ 30. 加工某種零件，需經(jīng)過(guò)三道工序，假定第一、二、三道工序的廢 品率分別為 ， ， ，并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無(wú)關(guān)，求零件的合格率 . 解 設(shè)事件 A 表示 “ 任取一個(gè)零件為合格品 ” ，依題意 A 表示三道工序都合格 . P(A)＝ (1－ )(1－ )(1－ )＝ 31. 某單位電話總機(jī)的占線率為 ，其中某車間分機(jī)的占線率為 ，假定二者獨(dú)立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第 m 次才能打通的概率 (m 為任何正整數(shù) ). 解 設(shè)事件 Ai表示 “ 第 i 次能打通 ” ， i＝ 1， 2， … ， m，則 P(A1)＝ (1－ )(1－ )＝ P(A2)＝ ＝ P(Am)＝ － 1 32. 一間宿舍中有 4 位同學(xué)的眼鏡都放在書架上，去上課時(shí)，每人任取一副眼鏡，求每個(gè)人都沒(méi)有拿到自己眼鏡的概率 . 9 解 設(shè) Ai表示 “ 第 i 人拿到自己眼鏡 ”， i＝ 1,2,3,4. P ( Ai )＝41，設(shè)事件 B表示 “ 每個(gè)人都沒(méi)有拿到自己的眼鏡 ” . 顯然 B 則表示 “ 至少有一人拿到自己的眼鏡 ” . 且 B ＝ A1＋ A2＋ A3＋ A4. P(B )＝ P(A1＋ A2＋ A3＋ A4) ＝ ? ? ? ???? ?? ??41 41 41 4321 )()()()(i ji kji kjiiii AAAAPAAAPAAPAp ＜ ＜＜ P(AiAj)? P(Ai)P(Aj｜ Ai) = )41(1213141 ???? ji＜ P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜ Ai)P(Ak｜ AiAj) =413121 ? 241（ 1≤ i＜ j＜ k≤ 4） P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A4｜ A1A2A3) =2411213141 ???? 85241241121414)( 3424 ???????? CCBP 83)(1)( ??? BPBP 33. 在 1， 2， … ， 3000 這 3000 個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，設(shè) Am＝ “該數(shù)可以被 m 整除 ”， m＝ 2， 3，求概率 P(A2A3)， P(A2＋ A3)，P(A2－ A3). 解 依題意 P(A2)＝ 21 ， P(A3)＝ 31 P(A2A3)＝ P(A6)＝ 61 P(A2＋ A3)＝ P(A2)＋ P(A3)－ P(A2A3) ＝ 32613121 ??? 10 P(A2－ A3)＝ P(A2)－ P(A2A3)＝316121 ?? 34. 甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃練習(xí)，每人一次，如果他們的 命中率分別為 ， ， ，計(jì)算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中 . 解 設(shè)事件 A、 B、 C 分別表示 “ 甲投中 ” 、“ 乙投中 ” 、“ 丙投中 ” ，顯然 A、 B、 C相互獨(dú)立 .設(shè) Ai表示 “ 三人中有 i人投中 ” ， i＝ 0,1,2,3,依題意， )()()() ()( 0 CPBPAPCBAPAP ?? ? ? P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =? P(A2)=P(ABC )＋ P(AB C)＋ P(A BC) =＋ ＋ ? (1) P(A1)＝ 1－ P(A0)－ P(A2)－ P(A3) ＝ 1－ － － ＝ (2) P(A0＋ A1)＝ P(A0)＋ P(A1)＝ ＋ ＝ (3) P(A＋ B＋ C)＝ P( 0A )＝ 1－ P (A0)＝ 35. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開(kāi)始，假定他們的命中率分別為 及 ，問(wèn)誰(shuí)先投中的概率較大，為什么 ? 解 設(shè)事件 A2n1B2n 分別表示 “ 甲在第 2n－ 1 次投中 ” 與 “ 乙在第 2n 次投中 ” ，顯然 A1， B2， A3， B4， … 相互獨(dú)立 .設(shè)事件 A表示 “ 甲先投中 ” . ????? )()()()( 543213211 ABABAPABAPAPAP ?????? ＋＋＋ 0 . 40 . 5 )( 0 . 60 . 40 . 50 . 60 . 4 2 ??? 計(jì)算得知 P(A)＞ ， P(A )＜ ，因此甲先投中的概率較 11 大 . 36. 某高校新生中，北京考生占 30％，京外其他各地考生占 70％，已知在北京學(xué)生中，以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的占 80％，而京外學(xué)生以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的占 95％，今從全校新生中任選一名學(xué)生，求該生以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的概率 . 解 設(shè)事件 A表示 “ 任選一名學(xué)生為北 京考生 ” ， B表示 “ 任選一名學(xué)生，