概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章課后習(xí)題答案-資料下載頁
2025-06-24 20:55本頁面
【正文】 =；（3） 驗證E（S2）=σ2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 ，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= 1,計算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機變量獨立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨立性，當(dāng)|x|≤1時， 當(dāng)|y|≤1時，.顯然故X和Y不是相互獨立的.（X，Y）的分布律為XY 1 0 1 1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表25X 101 PY 101 PXY 101 P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨立的.（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 （X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY.【解】 從而同理 又 故 （X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X 2Y和Z2=2X Y的相關(guān)系數(shù).【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而 故 ，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couchy Schwarz）不等式.【證】令顯然 可見此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式Δ≤0，即 故=1/，出現(xiàn)故障時自動關(guān)機，（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開機后無故障的工作時間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時間X~E(λ),E(X)==5.依題意Y=min(X,2).對于y0,f(y)=P{Y≤y}=0.對于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.對于0≤y2,當(dāng)x≥0時，在(0,x)內(nèi)無故障的概率分布為P{X≤x}=1 e λx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 e y/5
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