【正文】 33 }115X03P{}115P{ 30 1i iX ????? }{ ??? ? ? )(??? )(1 ??? ? 證明：因為 T ，則，隨機變量nY/XT?的密度函數(shù)為 ????????? ???????? ? ?? tnnntf ntn,2)2()2 1()( 121? 顯然 )()( tftf ?? ，則 )(tf 為偶函數(shù)，則 0)()()())(()()()()( 000000 ??????????? ??????? ???????????????? t dttft dttft dttfdtttft dttft dttft dttfTE 解：記 ?? ， 25?? ，則 X N(? ,?2 ),n=25 故 }2525 15014 150140P{14 }XP { 14 0 ????? ? ? } { 2 ???? ? ? (2)() ??? ()(2) ??? ? （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 34 解：記這 100 人的年均收入為 ，它們是來自均值為?? 萬元，標準差為 ?? 萬元的總體的樣本， n=100 則根據(jù)題意有： （ 1） 1 .6 }XP{11 .6 }XP{ ???? } {1 ??? ? ? }2nXP{1 ??? ? ? )2(1 ??? ?? ? （ 2） } {}XP{ ??? ? ? }4nXP{ ??? ? ? )4(??? )4(1 ??? 11?? 0?（ 3） } {}XP { ????? ? ? (6)(2) ??? ?? （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 35 ? 解：根據(jù)題意可知此樣本是來自均值為 12?? ，標準差為2?? 的總體，樣本容量為 n=5 （ 1）依題意有)(1}{1}52 1213nXP{1}31XP{1}31XP{ ???????????????? ? ?? ? （ 2）要求 樣本的 最小值 小于 10 概率， 即 5 個數(shù)中至少有一個小于 10 的概率 ，首先計算每個樣本小于 10 的概率： (1)1(1))2 1210XP(10)P (X ?????????? ? ?p 設 X 是 5 個樣本中小于 10 的樣本個數(shù)則 X 服從二項分布B(5,)故有 ? ? )P (X11)(X )158 (1CP 55005B ????????? ?? pp 即樣本的最小值小于 10 的概率是 . （ 3）同（ 2）要求樣本的最大值大于 15 的概率，即 5 個數(shù)中至少有一 個大于 15 的概率， 首先計算每個樣本 大于 15 的概率： ()1)2 1215XP(115)P (X115)P (X ???????????? ? ?p 設 X 是 5 個樣本中大于 15 的樣本個數(shù)則 X 服從二項分布B(5,)故有 （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 36 ? ? )P (X11)(X )066 (1CP 55005B ????????? ?? pp 即樣本的最大值大于 15 的概率是 第七章參數(shù)估計 解因為 : 是抽自二項分布 B（ m,p）的樣本，故都獨立同分布所以有 mpXE ?)( 用樣本均值 X 代替總體均值，則 p 的矩估計為 mXp?? 解： ?? ? 1)(0 ??? ??? ? x dxxE e x 用樣本均值 x代替總體均值，則 ?的矩估計為 ?? xxE 1)(1 ?? 由概率密度函數(shù)可知聯(lián)合密度分布函數(shù)為： eee xxxL n??? ???? ??? ????? 21)( e ni ixn ?? ?? 1?? 對它們兩邊求對數(shù)可得 ????? ?? ? ni in xe nxL ni i 1ln)l n())(l n( 1 ??? ?? 對 ? 求導并令其為 0 得 （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 37 0))(ln( 1 ?????? ?ni ixnL ?? ? 即可得 ?的似然估計值為 xnni ix11 1?1????? 解 :記隨機變量 x 服從總體為 [0, ]上的均勻分布，則 220)( ?? ???XE 故 的矩估計為 X2??? X 的密度函數(shù)為 ?1)( ?xp 故它的是似然函數(shù)為 II XXL ni nnin }{1 }0{ )(11)( ?? ??? ?? ?? ?? ? 要使 )(?L 達到最大，首先一點是示性函數(shù)的取值應該為 1，其次是 ?n1 盡可能大。由于 ?n1 是 的單調減函數(shù)，所以 的取值應該盡可能小，但示性函數(shù)為 1 決定了 不能小于 ,因此給出 的最大似然估計 ??? （示性函數(shù) I= ， =min{ } =max{ }） 解 :記隨機變量 x 服從總體為 [ , ]上的均勻分布，則 2322)( ??? ???XE 所以 的矩估計為 X32??? X 的密度函數(shù)為 ?1)( ?xp 故它的是似然函數(shù)為 III nni nnnin XL }2{}2{1 }2{ xx1xx11)( )1()()()1( ?????? ?? ??? ? ????? ???? （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 38 要使 )(?L 達到最大，首先一點是示性函數(shù)的取值應該為 1，其次是 ?n1 盡可能大。由于 ?n1 是 的單調減函數(shù)，所以 的取值應該盡可能小，但示性函數(shù)為 1 決定了 不能小于 ,因此給出 的最大似然估計 ??? 解 :似然函數(shù)為 : ee ni ii n ? ?????????? 12222 )X(2)X(2 1)L( 2122n1i2 )2( ??? ??? ??? 它的對數(shù)為 : ?????? ?ni innL12222 )X(2 1)l n(2)2l n(2)(ln ???? ? 對 ?2 求偏導并令它等于零有 02 12)(ln 1 2422 2 )X( ??????? ? ?ni inL ???? ? 解得 ?2 的似然估計值為 ??? ?ni in 122 )X(? 1 ?? 解 :根據(jù)所給的概率密度函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的密度函數(shù)可知 ?? ? ???? ???? ??? ? dxxdxxxf e x 0 1)()E (x ?2)( ?XVar (1) ?? ?? )()( X?11 EE ??? ??????? 221))E()(E (21)2()( XXXX? 21212 EE （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 39 ??? ??????? 331))2E ()(E (31)3()( XX2XX?21213 EE ??? ?????????? 331))E()E()(E (31)3()E()( XXXXXX? 3213214 EXE 故這四個估計都是 的無偏估計 .. （ 2） ?? 211 )()(V X? ?? V arar 2241))(V)(V(41)2()(V2221212 XXXX? ??? ??????? ararV arar 9591))(V4)(V(91)3()(V 5XX2XX?2221213 ??? ??????? ararV arar 3391))(V)(V)(V(91)3()(V223213214 XXXXXX? ??? ????????? arararV arar 故有 )(V)(V)(V)(V ????1324 ???? arararar ??? 證明（ 1） 因為 X 服從 [ ]上的均勻分布，故 212 1)( ????? ???XE ?? ???? 21)()( XEXE 故樣本均值不是 的無偏估計 （ 2）由（ 1）可知 的矩估計為 21? ??X? 又 ??? ?????? 2121)21()?( XEE 故它是 無偏估計 . （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 40 解 。因為 ????? 21))1(()?( 222221 )1(?? ccccEV ar ?????? 要使 )?(?Var 最小則對 )?(?Var 關于 c 求一階導并令其等于零可得 02)1(212)?( 22 ?????? ??? cccV ar 解得 ?? ? 21 2 222??c 因為對 )?(?Var 關于 c 求二階導可得 02212)?( 2222 ????? ???cV ar 故當?? ? 21 2 222??c時 )?(?Var 達到最小。 解 (1)根據(jù)題意和所給的數(shù)據(jù)可得 ?? , 16?n , ?? ZZ ?, 22 ?? , ?X 0 0 4 22 ???Zn ?? 所以 ? 的置信區(qū)間為],[],[],[ 22 ?????? ZZ nXnX ?? ?? (2) ?? 16?n ?X )(15 ?t （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 41 ? ? 15 1 22 ??? ? ??i XXS i 即 ?S 所以 ? 的置信區(qū)間為],[],[)]2(),2([ 1515 ???????? ?? tt nSXnSX 解 :根據(jù)所給的數(shù)據(jù)計算 : ?X , ?Y ? ? 000 00 3 1 221 ?? ? ??i XXS i ? ? 4 1 222 ?? ? ??i YYS i 則 X 和 Y構成的總體的方差為 )1()1( 22212 ??? ???? nm nm SSS 所以 ??21?置信系數(shù) ???? 的置信區(qū)間為 ]11)2(,11)2([ 22 nmSYXnmSYX tt nmnm ?????? ???? ?? = ]5141)(,5141)([ 77 ?????? SYXSYX tt =[,] 解 : 1000?n ???? ?? ZZ ? 228?Yn ?? np Y n 則比例 p 的區(qū)間估計為：]1000/)(,1000/)([]/)?1(??,/)?1(??[ 22 ????????? npppnppp ZZ ?? （概率課后習題答案詳解） 董永俊 （概率課后習題答案詳解） 42 = ],[ 解：根據(jù)題意有， 120?n ???? ?X ?? ZZ ? 則 ? 的置信區(qū)間為： ],[]120/,120/[]/,/[ 22 ?????? nXXnXX ZZ