【正文】 33 }115X03P{}115P{ 30 1i iX ????? }{ ??? ? ? )(??? )(1 ??? ? 證明：因?yàn)?T ，則，隨機(jī)變量nY/XT?的密度函數(shù)為 ????????? ???????? ? ?? tnnntf ntn,2)2()2 1()( 121? 顯然 )()( tftf ?? ，則 )(tf 為偶函數(shù)，則 0)()()())(()()()()( 000000 ??????????? ??????? ???????????????? t dttft dttft dttfdtttft dttft dttft dttfTE 解：記 ?? ， 25?? ，則 X N(? ,?2 ),n=25 故 }2525 15014 150140P{14 }XP { 14 0 ????? ? ? } { 2 ???? ? ? (2)() ??? ()(2) ??? ? （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 34 解：記這 100 人的年均收入為 ，它們是來(lái)自均值為?? 萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為 ?? 萬(wàn)元的總體的樣本， n=100 則根據(jù)題意有： （ 1） 1 .6 }XP{11 .6 }XP{ ???? } {1 ??? ? ? }2nXP{1 ??? ? ? )2(1 ??? ?? ? （ 2） } {}XP{ ??? ? ? }4nXP{ ??? ? ? )4(??? )4(1 ??? 11?? 0?（ 3） } {}XP { ????? ? ? (6)(2) ??? ?? （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 35 ? 解：根據(jù)題意可知此樣本是來(lái)自均值為 12?? ，標(biāo)準(zhǔn)差為2?? 的總體，樣本容量為 n=5 （ 1）依題意有)(1}{1}52 1213nXP{1}31XP{1}31XP{ ???????????????? ? ?? ? （ 2）要求 樣本的 最小值 小于 10 概率， 即 5 個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)小于 10 的概率 ，首先計(jì)算每個(gè)樣本小于 10 的概率： (1)1(1))2 1210XP(10)P (X ?????????? ? ?p 設(shè) X 是 5 個(gè)樣本中小于 10 的樣本個(gè)數(shù)則 X 服從二項(xiàng)分布B(5,)故有 ? ? )P (X11)(X )158 (1CP 55005B ????????? ?? pp 即樣本的最小值小于 10 的概率是 . （ 3）同（ 2）要求樣本的最大值大于 15 的概率，即 5 個(gè)數(shù)中至少有一 個(gè)大于 15 的概率， 首先計(jì)算每個(gè)樣本 大于 15 的概率： ()1)2 1215XP(115)P (X115)P (X ???????????? ? ?p 設(shè) X 是 5 個(gè)樣本中大于 15 的樣本個(gè)數(shù)則 X 服從二項(xiàng)分布B(5,)故有 （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 36 ? ? )P (X11)(X )066 (1CP 55005B ????????? ?? pp 即樣本的最大值大于 15 的概率是 第七章參數(shù)估計(jì) 解因?yàn)?: 是抽自二項(xiàng)分布 B（ m,p）的樣本，故都獨(dú)立同分布所以有 mpXE ?)( 用樣本均值 X 代替總體均值，則 p 的矩估計(jì)為 mXp?? 解： ?? ? 1)(0 ??? ??? ? x dxxE e x 用樣本均值 x代替總體均值，則 ?的矩估計(jì)為 ?? xxE 1)(1 ?? 由概率密度函數(shù)可知聯(lián)合密度分布函數(shù)為： eee xxxL n??? ???? ??? ????? 21)( e ni ixn ?? ?? 1?? 對(duì)它們兩邊求對(duì)數(shù)可得 ????? ?? ? ni in xe nxL ni i 1ln)l n())(l n( 1 ??? ?? 對(duì) ? 求導(dǎo)并令其為 0 得 （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 37 0))(ln( 1 ?????? ?ni ixnL ?? ? 即可得 ?的似然估計(jì)值為 xnni ix11 1?1????? 解 :記隨機(jī)變量 x 服從總體為 [0, ]上的均勻分布，則 220)( ?? ???XE 故 的矩估計(jì)為 X2??? X 的密度函數(shù)為 ?1)( ?xp 故它的是似然函數(shù)為 II XXL ni nnin }{1 }0{ )(11)( ?? ??? ?? ?? ?? ? 要使 )(?L 達(dá)到最大，首先一點(diǎn)是示性函數(shù)的取值應(yīng)該為 1，其次是 ?n1 盡可能大。由于 ?n1 是 的單調(diào)減函數(shù)，所以 的取值應(yīng)該盡可能小，但示性函數(shù)為 1 決定了 不能小于 ,因此給出 的最大似然估計(jì) ??? （示性函數(shù) I= ， =min{ } =max{ }） 解 :記隨機(jī)變量 x 服從總體為 [ , ]上的均勻分布，則 2322)( ??? ???XE 所以 的矩估計(jì)為 X32??? X 的密度函數(shù)為 ?1)( ?xp 故它的是似然函數(shù)為 III nni nnnin XL }2{}2{1 }2{ xx1xx11)( )1()()()1( ?????? ?? ??? ? ????? ???? （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 38 要使 )(?L 達(dá)到最大，首先一點(diǎn)是示性函數(shù)的取值應(yīng)該為 1，其次是 ?n1 盡可能大。由于 ?n1 是 的單調(diào)減函數(shù)，所以 的取值應(yīng)該盡可能小，但示性函數(shù)為 1 決定了 不能小于 ,因此給出 的最大似然估計(jì) ??? 解 :似然函數(shù)為 : ee ni ii n ? ?????????? 12222 )X(2)X(2 1)L( 2122n1i2 )2( ??? ??? ??? 它的對(duì)數(shù)為 : ?????? ?ni innL12222 )X(2 1)l n(2)2l n(2)(ln ???? ? 對(duì) ?2 求偏導(dǎo)并令它等于零有 02 12)(ln 1 2422 2 )X( ??????? ? ?ni inL ???? ? 解得 ?2 的似然估計(jì)值為 ??? ?ni in 122 )X(? 1 ?? 解 :根據(jù)所給的概率密度函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的密度函數(shù)可知 ?? ? ???? ???? ??? ? dxxdxxxf e x 0 1)()E (x ?2)( ?XVar (1) ?? ?? )()( X?11 EE ??? ??????? 221))E()(E (21)2()( XXXX? 21212 EE （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 39 ??? ??????? 331))2E ()(E (31)3()( XX2XX?21213 EE ??? ?????????? 331))E()E()(E (31)3()E()( XXXXXX? 3213214 EXE 故這四個(gè)估計(jì)都是 的無(wú)偏估計(jì) .. （ 2） ?? 211 )()(V X? ?? V arar 2241))(V)(V(41)2()(V2221212 XXXX? ??? ??????? ararV arar 9591))(V4)(V(91)3()(V 5XX2XX?2221213 ??? ??????? ararV arar 3391))(V)(V)(V(91)3()(V223213214 XXXXXX? ??? ????????? arararV arar 故有 )(V)(V)(V)(V ????1324 ???? arararar ??? 證明（ 1） 因?yàn)?X 服從 [ ]上的均勻分布，故 212 1)( ????? ???XE ?? ???? 21)()( XEXE 故樣本均值不是 的無(wú)偏估計(jì) （ 2）由（ 1）可知 的矩估計(jì)為 21? ??X? 又 ??? ?????? 2121)21()?( XEE 故它是 無(wú)偏估計(jì) . （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 40 解 。因?yàn)?????? 21))1(()?( 222221 )1(?? ccccEV ar ?????? 要使 )?(?Var 最小則對(duì) )?(?Var 關(guān)于 c 求一階導(dǎo)并令其等于零可得 02)1(212)?( 22 ?????? ??? cccV ar 解得 ?? ? 21 2 222??c 因?yàn)閷?duì) )?(?Var 關(guān)于 c 求二階導(dǎo)可得 02212)?( 2222 ????? ???cV ar 故當(dāng)?? ? 21 2 222??c時(shí) )?(?Var 達(dá)到最小。 解 (1)根據(jù)題意和所給的數(shù)據(jù)可得 ?? , 16?n , ?? ZZ ?, 22 ?? , ?X 0 0 4 22 ???Zn ?? 所以 ? 的置信區(qū)間為],[],[],[ 22 ?????? ZZ nXnX ?? ?? (2) ?? 16?n ?X )(15 ?t （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 41 ? ? 15 1 22 ??? ? ??i XXS i 即 ?S 所以 ? 的置信區(qū)間為],[],[)]2(),2([ 1515 ???????? ?? tt nSXnSX 解 :根據(jù)所給的數(shù)據(jù)計(jì)算 : ?X , ?Y ? ? 000 00 3 1 221 ?? ? ??i XXS i ? ? 4 1 222 ?? ? ??i YYS i 則 X 和 Y構(gòu)成的總體的方差為 )1()1( 22212 ??? ???? nm nm SSS 所以 ??21?置信系數(shù) ???? 的置信區(qū)間為 ]11)2(,11)2([ 22 nmSYXnmSYX tt nmnm ?????? ???? ?? = ]5141)(,5141)([ 77 ?????? SYXSYX tt =[,] 解 : 1000?n ???? ?? ZZ ? 228?Yn ?? np Y n 則比例 p 的區(qū)間估計(jì)為：]1000/)(,1000/)([]/)?1(??,/)?1(??[ 22 ????????? npppnppp ZZ ?? （概率課后習(xí)題答案詳解） 董永俊 （概率課后習(xí)題答案詳解） 42 = ],[ 解：根據(jù)題意有， 120?n ???? ?X ?? ZZ ? 則 ? 的置信區(qū)間為： ],[]120/,120/[]/,/[ 22 ?????? nXXnXX ZZ